Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren löst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen. Es ist die erste Wahl, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind – etwa bei zwei Geraden in der Form $y = mx + b$.
So gehst Du vor
- Auflösen: Beide Gleichungen nach derselben Variablen umstellen (meist $y = \ldots$).
- Gleichsetzen: Wenn zweimal $y$ links steht, müssen auch die rechten Seiten gleich sein.
- Lösen: Die neue Gleichung hat nur noch eine Variable.
- Einsetzen: Den gefundenen Wert in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen.
- Probe: Beide Werte in beide Gleichungen einsetzen.
Beispiele
Beispiel 1: beide Gleichungen schon nach y aufgelöst
$\text{I: } y = 3x - 5 \qquad \text{II: } y = -2x + 10$
Probe in II: $-2 \cdot 3 + 10 = 4$ ✓. Lösung: $\mathbb{L} = \{(3 \mid 4)\}$.
Beispiel 2: Welcher Handytarif ist günstiger?
Tarif A kostet 10 € im Monat plus 0,20 € pro Minute, Tarif B 4 € plus 0,50 € pro Minute. Mit $x$ Minuten und den Kosten $y$:
$\text{A: } y = 0{,}2x + 10 \qquad \text{B: } y = 0{,}5x + 4$
Gleichsetzen: $0{,}2x + 10 = 0{,}5x + 4$, also $6 = 0{,}3x$ und $x = 20$. Bei 20 Minuten kosten beide Tarife $y = 14$ €. Wer weniger telefoniert, fährt mit B besser, wer mehr telefoniert, mit A.
Beispiel 3: erst umstellen
$\text{I: } 2x + y = 9 \qquad \text{II: } y - x = 3$
Nach $y$ aufgelöst: $y = -2x + 9$ und $y = x + 3$. Gleichsetzen: $-2x + 9 = x + 3$, also $6 = 3x$ und $x = 2$. Dann $y = 2 + 3 = 5$.
Was die Lösung bedeutet
Jede Gleichung der Form $y = mx + b$ ist eine Gerade. Die Lösung des Systems ist der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden – in Beispiel 1 der Punkt $(3 \mid 4)$. Gleichsetzen heißt also: Du suchst die Stelle $x$, an der beide Geraden denselben $y$-Wert haben. Ausprobieren kannst Du das im Funktionsplotter.
Sonderfälle
- Gleiche Steigung, verschiedener Achsenabschnitt ($y = 2x + 1$ und $y = 2x - 3$): Gleichsetzen ergibt $1 = -3$ – ein Widerspruch. Die Geraden sind parallel, es gibt keine Lösung.
- Zweimal dieselbe Gerade ($y = 2x + 1$ und $2y = 4x + 2$): Es bleibt $0 = 0$ übrig. Jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung – es gibt unendlich viele.
Online üben
Gib die Lösung als „x = 3; y = 4“ ein.
Stufe 1: beide nach y aufgelöst
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Aufgabe 1
\(\text{I: }\; y = 4x \qquad \text{II: }\; y = 2x - 2\)\(x; y\)\(x = -1,\quad y = -4\)
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Aufgabe 2
\(\text{I: }\; y = -3x - 17 \qquad \text{II: }\; y = -2x - 13\)\(x; y\)\(x = -4,\quad y = -5\)
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Aufgabe 3
\(\text{I: }\; y = 3x - 11 \qquad \text{II: }\; y = -2x + 4\)\(x; y\)\(x = 3,\quad y = -2\)
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Aufgabe 4
\(\text{I: }\; y = x - 3 \qquad \text{II: }\; y = 2x - 11\)\(x; y\)\(x = 8,\quad y = 5\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gleichsetzungsverfahren
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Andere Verfahren
Ist nur eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, geht das Einsetzungsverfahren schneller. Stehen beide Gleichungen in der Form $ax + by = c$, ist das Additionsverfahren meist am bequemsten. Alle Verfahren und das Gauß-Verfahren für drei Gleichungen im Überblick: Lineare Gleichungssysteme.
Weiterlesen: Lineares Gleichungssystem bei Wikipedia