Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = \frac{\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Bedingung: $\cos\left(x\right)^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Quotientenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\]Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Hier ist $u = \cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2},\quad v = \cos\left(x\right)^{2}$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right]}\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\left(\cos\left(x\right)^{2}\right)^{2}}\,}}}\]Potenz einer Potenz Vereinfachen
Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
\[\left(\cos\left(x\right)^{2}\right)^{2} \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)^{2 \cdot 2}\]\[= \frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right]}\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2 \cdot 2}\,}}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 \cdot 2 \;\Rightarrow\; 4\]\[= \frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right]}\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = \cos\left(x\right)^{2},\quad v = \sin\left(x\right)^{2}$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\right)\,}}}\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Potenzregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'\]Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.
Hier ist $u = \cos\left(x\right),\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,\cos\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\]\[= \frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{\left(2\,\cos\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[\cos\left(x\right)^{1} \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)\]\[= \frac{\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Ableitung des Kosinus Ableiten
\[\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\]Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; -\sin\left(x\right)\]\[= \frac{\left(2\,\cos\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen
Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
\[2\,\cos\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; -2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\]\[= \frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Potenzregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'\]Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.
Hier ist $u = \sin\left(x\right),\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\]\[= \frac{\left(-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{\left(-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right) + 2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[\sin\left(x\right)^{1} \;\Rightarrow\; \sin\left(x\right)\]\[= \frac{\left(-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right) + 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Ableitung des Sinus Ableiten
\[\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)\]Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
\[\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)\]\[= \frac{\left(-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right) + 2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachen
Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
\[-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right) + 2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Rightarrow\; 0\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Mit 0 multiplizieren Vereinfachen
Ein Faktor 0 macht das Produkt zu 0, soweit die ursprünglichen Ausdrücke definiert sind.
\[0\,\cos\left(x\right)^{2} \;\Rightarrow\; 0\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Potenzregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'\]Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.
Hier ist $u = \cos\left(x\right),\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,\cos\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\]\[= \frac{0 - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{0 - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\cos\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[\cos\left(x\right)^{1} \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)\]\[= \frac{0 - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Ableitung des Kosinus Ableiten
\[\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\]Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; -\sin\left(x\right)\]\[= \frac{0 - \left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\cos\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen
Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
\[\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\cos\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; -\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\]\[= \frac{0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[-\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right) \cdot 2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right) \;\Rightarrow\; -2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\]\[= \frac{0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Subtraktion von 0 aus Vereinfachen
0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.
\[0 - \left(-2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; -\left(-2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\left(-2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Doppeltes Minus auflösen Vereinfachen
Die Gegenzahl der Gegenzahl ergibt wieder den ursprünglichen Ausdruck.
\[-\left(-2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; 2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{4}}\]Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachen
Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{4 - 1}}\,}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[4 - 1 \;\Rightarrow\; 3\]\[= \frac{2\,\left(\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\right)\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.