Extrempunkte berechnen
Hochpunkte und Tiefpunkte sind die Stellen, an denen ein Graph umkehrt: Er steigt bis zum Hochpunkt und fällt danach – oder umgekehrt beim Tiefpunkt. Mit der Ableitung findest Du sie in drei Schritten.
Das Verfahren
Drei Schritte
- Notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$ lösen. Nur dort kann ein Extrempunkt liegen, denn dort ist die Tangente waagerecht.
- Hinreichende Bedingung: Die Lösungen in $f''$ einsetzen. $f''(x) < 0$: Hochpunkt (Rechtskurve). $f''(x) > 0$: Tiefpunkt (Linkskurve).
- y-Wert: Die Stelle in $f$ einsetzen und den Punkt angeben.
Ist in Schritt 2 $f''(x) = 0$, hilft die zweite Ableitung nicht weiter. Dann schaust Du, ob $f'$ an der Stelle das Vorzeichen wechselt: von $+$ nach $-$ heißt Hochpunkt, von $-$ nach $+$ Tiefpunkt, ohne Wechsel liegt ein Sattelpunkt vor.
Beispiele
Beispiel 1: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$
Beispiel 2: $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$
$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x\,(x^2 - 4)$ ist 0 bei $x = 0$ und $x = \pm 2$. Mit $f''(x) = 12x^2 - 16$:
Der Graph ist achsensymmetrisch – deshalb liegen die beiden Tiefpunkte spiegelbildlich.
Beispiel 3: Sattelpunkt bei $f(x) = x^4 - 4x^3$
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2\,(x - 3)$ ist 0 bei $x = 0$ und $x = 3$. Es gilt $f''(x) = 12x^2 - 24x$, also $f''(3) = 36 > 0$: Tiefpunkt $T(3 \mid -27)$.
Bei $x = 0$ ist $f''(0) = 0$. Links und rechts von 0 ist $f'(x) = 4x^2(x - 3)$ negativ – kein Vorzeichenwechsel. Der Graph fällt durch $(0 \mid 0)$ hindurch und wird dort nur kurz waagerecht: ein Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Anwendung: die größte Schachtel
Extremwertaufgabe
Aus einem quadratischen Karton mit 30 cm Seitenlänge werden an den Ecken Quadrate mit der Seite $x$ ausgeschnitten, dann werden die Ränder hochgeklappt. Das Volumen der offenen Schachtel ist
$V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12\,(x - 5)(x - 15)$. Im erlaubten Bereich bleibt $x = 5$, und $V''(5) = 24 \cdot 5 - 240 = -120 < 0$ – ein Hochpunkt. Die größte Schachtel entsteht mit 5 cm großen Eckquadraten und hat $V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000\,\text{cm}^3$.
Mehr solche Aufgaben: Extremwertaufgaben.
Typische Fehler
- y-Wert in der Ableitung berechnet: Der Punkt liegt auf dem Graphen von $f$ – also $f(x_E)$, nicht $f'(x_E)$.
- Vorzeichen verwechselt: $f'' < 0$ bedeutet Hochpunkt. Merkhilfe: Ein trauriger Mund (Rechtskurve, negativ) hat oben einen Scheitel.
- $f'' = 0$ als „kein Extremum“ gewertet: Bei $f(x) = x^4$ ist $f''(0) = 0$, trotzdem ist $(0 \mid 0)$ ein Tiefpunkt. Dann entscheidet der Vorzeichenwechsel.
Lokal oder global? Ein Hochpunkt ist zunächst nur lokal der höchste Punkt seiner Umgebung. Ob er auch der höchste Punkt im ganzen betrachteten Bereich ist, musst Du mit den Randwerten vergleichen – bei der Schachtel etwa mit $V(0) = V(15) = 0$.
Online üben
Gib die Punkte ein, z. B. „H(-1|7); T(3|-25)“.
Stufe 1: quadratische Funktionen
-
Aufgabe 1
\(f(x) = -2x^{2} - 8x - 11\)\(H\left(-2 \,\middle|\, -3\right)\)
-
Aufgabe 2
\(f(x) = x^{2} - 6\)\(T\left(0 \,\middle|\, -6\right)\)
-
Aufgabe 3
\(f(x) = -3x^{2} - 18x - 33\)\(H\left(-3 \,\middle|\, -6\right)\)
-
Aufgabe 4
\(f(x) = 3x^{2} - 6x + 7\)\(T\left(1 \,\middle|\, 4\right)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Extrempunkte bestimmen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Weiter mit den Wendepunkten oder zur vollständigen Kurvendiskussion. Für e-, ln- und Bruchfunktionen bestimmt der Kurvendiskussion-Rechner die Extrempunkte samt Graph.
Weiterlesen: Extremwert bei Wikipedia