Wendepunkte berechnen
An einem Wendepunkt wechselt der Graph seine Krümmung: aus einer Linkskurve wird eine Rechtskurve oder umgekehrt. Denk an den Buchstaben S – sein oberer Bogen ist zur einen Seite gewölbt, der untere zur anderen. Der Wendepunkt sitzt genau dort, wo die beiden Bögen ineinander übergehen.
Das Verfahren
Drei Schritte
- Notwendige Bedingung: $f''(x) = 0$ lösen.
- Hinreichende Bedingung: $f'''(x) \neq 0$ an der gefundenen Stelle. Ist $f'''(x) = 0$, prüfst Du stattdessen, ob $f''$ dort das Vorzeichen wechselt.
- y-Wert: Die Stelle in $f$ einsetzen.
Warum die zweite Ableitung? Sie beschreibt, wie sich die Steigung ändert. Ist $f'' > 0$, wird die Steigung größer – der Graph macht eine Linkskurve. Ist $f'' < 0$, wird sie kleiner – Rechtskurve. Genau dazwischen, beim Wechsel, ist $f'' = 0$.
Beispiele
Beispiel 1: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$
Jede Funktion 3. Grades hat genau einen Wendepunkt – er liegt genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt (hier zwischen $x = -1$ und $x = 3$, siehe Extrempunkte).
Beispiel 2: $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$
$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12\,(x^2 - 1)$ ist 0 bei $x = \pm 1$. Mit $f'''(x) = 24x$ gilt $f'''(\pm 1) = \pm 24 \neq 0$, und $f(\pm 1) = -4$:
Beispiel 3: Sattelpunkt bei $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$
$f''(x) = 6x - 6$ ist 0 bei $x = 1$, und $f'''(1) = 6 \neq 0$: Wendepunkt $W(1 \mid 1)$. Zusätzlich ist hier $f'(1) = 3 - 6 + 3 = 0$ – die Tangente im Wendepunkt ist waagerecht. Einen solchen Wendepunkt nennt man Sattelpunkt oder Terrassenpunkt.
Beispiel 4: kein Wendepunkt bei $f(x) = x^4$
$f''(x) = 12x^2$ ist 0 bei $x = 0$, aber $f'''(0) = 0$. Da $12x^2$ links und rechts von 0 positiv ist, wechselt die Krümmung nicht – der Graph bleibt eine Linkskurve. $f''(x) = 0$ allein reicht also nicht.
Was ein Wendepunkt in Anwendungen bedeutet
Im Wendepunkt ist die Steigung am größten oder am kleinsten (bezogen auf die Umgebung). Beschreibt $f$ zum Beispiel die Zahl der Nutzer einer App im Lauf der Zeit, markiert der Wendepunkt den Moment des schnellsten Wachstums – danach wächst die Zahl zwar weiter, aber immer langsamer.
Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. In Beispiel 1 ist $f'(1) = -12$, also $t(x) = -12\,(x - 1) - 9 = -12x + 3$. Mehr dazu: Wendetangente.
Typische Fehler
- $f'(x) = 0$ statt $f''(x) = 0$: Die erste Ableitung liefert Extremstellen, keine Wendestellen.
- Hinreichende Bedingung übersprungen: Wie bei $x^4$ gibt es Nullstellen von $f''$ ohne Wendepunkt.
- Nur die Stelle angegeben: Gesucht ist meist der Punkt $W(x \mid f(x))$.
Online üben
Gib die Wendepunkte ein, z. B. „W(1|-9)“ oder bei zwei Punkten „W(-1|-4); W(1|-4)“.
Stufe 1: Funktionen 3. Grades
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Aufgabe 1
\(f(x) = -x^{3} + 6x^{2} + 3x\)\(W\left(2 \,\middle|\, 22\right)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -2x^{3} - 12x^{2} - 5x - 7\)\(W\left(-2 \,\middle|\, -29\right)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = 3x^{3} - 18x^{2} + x + 2\)\(W\left(2 \,\middle|\, -44\right)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = 3x^{3} + 27x^{2} + 7x + 2\)\(W\left(-3 \,\middle|\, 143\right)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wendepunkte bestimmen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Wendepunkte gehören zur vollständigen Kurvendiskussion. Für e-, ln- und Bruchfunktionen nutze den Kurvendiskussion-Rechner.
Weiterlesen: Wendepunkt bei Wikipedia