Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = -2097152\,\cos\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right)$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Faktorregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Hier ist $c = -2097152,\quad u = \cos\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right)$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2097152\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right)\right]}\,}}}\]Produktregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'\]Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Hier ist $u = \cos\left(4\,x\right),\quad v = \sin\left(4\,x\right)$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(4\,x\right)\right]}\,\sin\left(4\,x\right) + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\]\[= -2097152\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(4\,x\right)\right]}\,\sin\left(4\,x\right) + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\,}}}\]Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'\]Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Hier ist $u = 4\,x$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(4\,x\right)\right]} \;\Rightarrow\; -\sin\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\]\[= -2097152\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\,}}}\,\sin\left(4\,x\right) + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\]Faktorregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Hier ist $c = 4,\quad u = x$.
\[\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]} \;\Rightarrow\; 4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]\[= -2097152\,\left(-\sin\left(4\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(4\,x\right) + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= -2097152\,\left(-\sin\left(4\,x\right) \cdot 4 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(4\,x\right) + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[4 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 4\]\[= -2097152\,\left(-\sin\left(4\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,\sin\left(4\,x\right) + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[-\sin\left(4\,x\right) \cdot 4\,\sin\left(4\,x\right) \;\Rightarrow\; -4\,\sin\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right)\]\[= -2097152\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-4\,\sin\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right)\,}}} + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\]Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachen
Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
\[-4\,\sin\left(4\,x\right)\,\sin\left(4\,x\right) \;\Rightarrow\; -4\,\sin\left(4\,x\right)^{2}\]\[= -2097152\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2}\,}}} + \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\right)\]Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'\]Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Hier ist $u = 4\,x$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\]\[= -2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2} + \cos\left(4\,x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\,}}}\right)\]Faktorregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Hier ist $c = 4,\quad u = x$.
\[\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]} \;\Rightarrow\; 4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]\[= -2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2} + \cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= -2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2} + \cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot 4 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[4 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 4\]\[= -2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2} + \cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\right)\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[\cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot 4 \;\Rightarrow\; 4\,\cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right)\]\[= -2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right)\,}}}\right)\]Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachen
Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
\[4\,\cos\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \;\Rightarrow\; 4\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\]\[= -2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\,}}}\right)\]Ausmultiplizieren Vereinfachen
Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2}\right) - 2097152 \cdot 4\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\,}}}\]Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen
Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
\[-2097152\,\left(-4\,\sin\left(4\,x\right)^{2}\right) \;\Rightarrow\; 2097152 \cdot 4\,\sin\left(4\,x\right)^{2}\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2097152 \cdot 4\,\sin\left(4\,x\right)^{2}\,}}} - 2097152 \cdot 4\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2097152 \cdot 4 \;\Rightarrow\; 8388608\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8388608\,}}}\,\sin\left(4\,x\right)^{2} - 2097152 \cdot 4\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\]Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachen
Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.
\[2097152 \cdot 4\,\cos\left(4\,x\right)^{2} \;\Rightarrow\; 8388608\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\]\[= 8388608\,\sin\left(4\,x\right)^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8388608\,\cos\left(4\,x\right)^{2}\,}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.