Ableitungsrechner mit Rechenweg

Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.

Rechenweg

grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist

1. Produktregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'\]

   Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

   Hier ist $u = \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x},\quad v = 2\,x - 3$.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\right]}\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\,}}}\]

   Regel erklärt

2. Ableitung der Exponentialfunktion Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'\]

   Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

   Hier ist $u = x^{2} - 3\,x$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\right]} \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x\right]}\]

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x\right]}\,}}}\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

3. Summen-/Differenzenregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]

   Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

   Hier ist $u = x^{2},\quad v = 3\,x$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\right)\,}}}\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

   Regel erklärt

4. Potenzregel (Spezialfall) Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]

   Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

   Hier ist $u = x,\quad c = 2$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\right)\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

   Regel erklärt

5. Zahlen ausrechnen Vereinfachen

   Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

   \[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\right)\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

6. Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen

   Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

   \[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\right)\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

7. Faktorregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]

   Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

   Hier ist $c = 3,\quad u = x$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} \;\Rightarrow\; 3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

   Regel erklärt

8. Ableitung der Variablen Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(x)=1\]

   Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

   \[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

   Regel erklärt

9. Faktor 1 entfernen Vereinfachen

   Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

   \[3 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 3\]

   \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}\right)\,\left(2\,x - 3\right) + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

10. Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachen

    Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

    \[\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)\,\left(2\,x - 3\right) \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2}\]

    \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2}\,}}} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]}\]

11. Summen-/Differenzenregel Ableiten

    \[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]

    Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

    Hier ist $u = 2\,x,\quad v = 3$.

    \[\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 3\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,}}}\]

    Regel erklärt

12. Faktorregel Ableiten

    \[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]

    Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

    Hier ist $c = 2,\quad u = x$.

    \[\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Rightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\]

    Regel erklärt

13. Ableitung der Variablen Ableiten

    \[\frac{d}{dx}(x)=1\]

    Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

    \[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\]

    Regel erklärt

14. Faktor 1 entfernen Vereinfachen

    Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

    \[2 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 2\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\]

15. Konstantenregel Ableiten

    \[\frac{d}{dx}(c)=0\]

    Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

    Hier ist $c = 3$.

    \[\frac{d}{dx}{\left[3\right]} \;\Rightarrow\; 0\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\]

    Regel erklärt

16. Null als Summand entfernen Vereinfachen

    Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

    \[2 - 0 \;\Rightarrow\; 2\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\]

17. Faktoren ordnen Vereinfachen

    Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

    \[\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x} \cdot 2 \;\Rightarrow\; 2\,\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\]

    \[= \mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,\left(2\,x - 3\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{x^{2} - 3\,x}\,}}}\]

So benutzt Du den Ableitungsrechner

• Potenzen mit ^: x^3, Wurzeln mit sqrt(…) oder als Potenz x^(1/2).
• Malpunkte darfst Du weglassen: 3x^2, 2sin(x), x e^x.
• Funktionen: sin, cos, tan, e^x bzw. exp(x), ln, log, sqrt, abs – das Argument immer in Klammern.
• Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
• Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.

Welche Regeln verwendet der Rechner?

Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).

Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.

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