Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Bedingung: $x^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Quotientenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\]Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Hier ist $u = \mathrm{e}^{x},\quad v = x^{2}$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}\]Potenz einer Potenz Vereinfachen
Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
\[\left(x^{2}\right)^{2} \;\Rightarrow\; x^{2 \cdot 2}\]\[= \frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 \cdot 2 \;\Rightarrow\; 4\]\[= \frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}\]Ableitung der Exponentialfunktion Ableiten
\[\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'\]Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Hier ist $u = x$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[\mathrm{e}^{x}\,x^{2} \;\Rightarrow\; x^{2}\,\mathrm{e}^{x}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Potenzregel (Spezialfall) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Hier ist $u = x,\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]\[= \frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{x^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}{x^{4}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= \frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{x^{4}}\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[\mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x \;\Rightarrow\; 2\,x\,\mathrm{e}^{x}\]\[= \frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{x^{4}}\]Gemeinsamen Faktor ausklammern Vereinfachen
Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\left(x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}\right)}{x^{4}}\,}}}\]Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachen
Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{4 - 1}}\,}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[4 - 1 \;\Rightarrow\; 3\]\[= \frac{x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.