Ableitungsrechner mit Rechenweg

Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.

Rechenweg

grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist

1. Potenzregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'\]

   Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

   Hier ist $u = \sin\left(4\,x\right),\quad c = 2$.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(4\,x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\,}}}\]

   Regel erklärt

2. Zahlen ausrechnen Vereinfachen

   Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

   \[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]

   \[= 2\,\sin\left(4\,x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\]

3. Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen

   Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

   \[\sin\left(4\,x\right)^{1} \;\Rightarrow\; \sin\left(4\,x\right)\]

   \[= 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(4\,x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]}\]

4. Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'\]

   Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

   Hier ist $u = 4\,x$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(4\,x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\]

   \[= 2\,\sin\left(4\,x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(4\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\,}}}\]

   Regel erklärt

5. Faktorregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]

   Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

   Hier ist $c = 4,\quad u = x$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]} \;\Rightarrow\; 4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]

   \[= 2\,\sin\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\]

   Regel erklärt

6. Ableitung der Variablen Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(x)=1\]

   Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

   \[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]

   \[= 2\,\sin\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot 4 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\]

   Regel erklärt

7. Faktor 1 entfernen Vereinfachen

   Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

   \[4 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 4\]

   \[= 2\,\sin\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\]

8. Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachen

   Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,\sin\left(4\,x\right)\,\cos\left(4\,x\right)\,}}}\]

So benutzt Du den Ableitungsrechner

• Potenzen mit ^: x^3, Wurzeln mit sqrt(…) oder als Potenz x^(1/2).
• Malpunkte darfst Du weglassen: 3x^2, 2sin(x), x e^x.
• Funktionen: sin, cos, tan, e^x bzw. exp(x), ln, log, sqrt, abs – das Argument immer in Klammern.
• Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
• Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.

Welche Regeln verwendet der Rechner?

Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).

Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.

Passt dazu