Ableitungsrechner mit Rechenweg

Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.

Bedingung: $\cos\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Rechenweg

grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist

1. Quotientenregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\]

   Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

   Hier ist $u = \sin\left(x\right),\quad v = \cos\left(x\right)$.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}\]

   Regel erklärt

2. Ableitung des Sinus Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)\]

   Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

   \[\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)\]

   \[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}\]

   Regel erklärt

3. Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachen

   Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

   \[\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)^{2}\]

   \[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2}\,}}} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}\]

4. Ableitung des Kosinus Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\]

   Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

   \[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; -\sin\left(x\right)\]

   \[= \frac{\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}\]

   Regel erklärt

5. Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen

   Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

   \[\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; -\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\]

   \[= \frac{\cos\left(x\right)^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}\]

6. Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachen

   Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

   \[-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) \;\Rightarrow\; -\sin\left(x\right)^{2}\]

   \[= \frac{\cos\left(x\right)^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)^{2}\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}\]

7. Minus mal Minus ergibt Plus Vereinfachen

   Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.

   \[\cos\left(x\right)^{2} - \left(-\sin\left(x\right)^{2}\right) \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\]

   \[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}\]

So benutzt Du den Ableitungsrechner

• Potenzen mit ^: x^3, Wurzeln mit sqrt(…) oder als Potenz x^(1/2).
• Malpunkte darfst Du weglassen: 3x^2, 2sin(x), x e^x.
• Funktionen: sin, cos, tan, e^x bzw. exp(x), ln, log, sqrt, abs – das Argument immer in Klammern.
• Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
• Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.

Welche Regeln verwendet der Rechner?

Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).

Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.

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