Kathetensatz und Höhensatz
Kathetensatz und Höhensatz gehören mit dem Satz des Pythagoras zur „Satzgruppe des Pythagoras“. Sie verbinden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Höhe auf die Hypotenuse und den beiden Stücken, in die sie die Hypotenuse teilt.
Bezeichnungen
- Der rechte Winkel liegt bei $C$, gegenüber liegt die Hypotenuse $c$. Die Katheten sind $a$ und $b$.
- Die Höhe $h$ geht von $C$ senkrecht auf $c$. Ihr Fußpunkt teilt $c$ in zwei Hypotenusenabschnitte: $p$ liegt unter $a$, $q$ unter $b$. Es gilt $c = p + q$.
Die beiden Sätze
Als Flächen gelesen: Das Quadrat über einer Kathete ist so groß wie das Rechteck aus der ganzen Hypotenuse und dem Abschnitt unter dieser Kathete. Beim Höhensatz ist das Quadrat über der Höhe so groß wie das Rechteck aus den beiden Abschnitten. Addierst Du die beiden Kathetensätze, erhältst Du $a^2 + b^2 = c\,(p + q) = c^2$ – den Satz des Pythagoras.
Warum gelten die Sätze?
Die Höhe zerlegt das große Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Alle drei haben dieselben Winkel – sie sind ähnlich. In ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich:
Links vergleichst Du das rechte Teildreieck mit dem großen Dreieck, rechts die beiden Teildreiecke miteinander.
Beispiele
Beispiel 1: Höhe aus den Abschnitten
$p = 4\,\text{cm}$ und $q = 9\,\text{cm}$: $h^2 = 4 \cdot 9 = 36$, also $h = 6\,\text{cm}$. Mit $c = 13\,\text{cm}$ folgen die Katheten: $a = \sqrt{13 \cdot 4} = \sqrt{52} \approx 7{,}21\,\text{cm}$ und $b = \sqrt{13 \cdot 9} = \sqrt{117} \approx 10{,}82\,\text{cm}$.
Beispiel 2: Abschnitt aus Kathete und Hypotenuse
$a = 6\,\text{cm}$, $c = 10\,\text{cm}$. Aus dem Kathetensatz: $p = \frac{a^2}{c} = \frac{36}{10} = 3{,}6\,\text{cm}$, also $q = 10 - 3{,}6 = 6{,}4\,\text{cm}$ und $h = \sqrt{3{,}6 \cdot 6{,}4} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\,\text{cm}$.
Beispiel 3: Höhe und ein Abschnitt
$h = 6\,\text{cm}$ und $q = 8\,\text{cm}$: $p = \frac{h^2}{q} = \frac{36}{8} = 4{,}5\,\text{cm}$, $c = 12{,}5\,\text{cm}$.
Anwendung: eine Wurzel konstruieren
Mit dem Höhensatz kannst Du $\sqrt{n}$ mit Zirkel und Lineal zeichnen: Trage auf einer Geraden $p = 1$ und $q = n$ hintereinander ab, zeichne über der ganzen Strecke einen Halbkreis (Thaleskreis) und errichte am Teilungspunkt die Senkrechte. Bis zum Halbkreis ist sie genau $\sqrt{1 \cdot n} = \sqrt{n}$ lang. Für $\sqrt{6}$ eignen sich auch $p = 2$ und $q = 3$.
Typische Fehler
- Falscher Abschnitt: Zu $a$ gehört der Abschnitt unter $a$ – also $p$, nicht $q$.
- Abschnitt statt ganzer Hypotenuse: Im Kathetensatz steht $c \cdot p$, nicht $p \cdot q$.
- Ohne rechten Winkel: Beide Sätze gelten nur im rechtwinkligen Dreieck.
Ergebnis
Alle Seiten und Winkel des rechtwinkligen Dreiecks (γ = 90°, gerundet auf zwei Nachkommastellen):
a = 6 cm · b = 8 cm · c = 10 cm · α ≈ 36,87° · β ≈ 53,13°
| Größe | Wert |
|---|---|
| Kathete a | \(a = 6\,\text{cm}\) gegeben |
| Kathete b | \(b = 8\,\text{cm}\) |
| Hypotenuse c | \(c = 10\,\text{cm}\) gegeben |
| Winkel α | \(\alpha \approx 36{,}87^\circ\) |
| Winkel β | \(\beta \approx 53{,}13^\circ\) |
| Höhe h auf c | \(h = 4{,}8\,\text{cm}\) |
| Hypotenusenabschnitt p | \(p = 3{,}6\,\text{cm}\) |
| Hypotenusenabschnitt q | \(q = 6{,}4\,\text{cm}\) |
| Flächeninhalt A | \(A = 24\,\text{cm}^2\) |
| Umfang U | \(U = 24\,\text{cm}\) |
Rechenweg
Kathete b mit Pythagoras
\[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]\[b = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}\]Winkel α mit dem Sinus
Mit der Umkehrfunktion (Taste sin⁻¹ bzw. arcsin) erhältst Du den Winkel.
\[\sin\alpha = \frac{a}{c} \;\Rightarrow\; \alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{a}{c}\right)\]\[\alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{6}{10}\right) \approx 36{,}87^\circ\]Winkel β berechnen
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Ein Winkel ist 90°, also bleiben für α und β zusammen 90°.
\[\beta = 90^\circ - \alpha\]\[\beta = 90^\circ - 36{,}87^\circ \approx 53{,}13^\circ\]Höhe auf die Hypotenuse
Der Flächeninhalt lässt sich als a·b/2 und als c·h/2 schreiben – daraus folgt:
\[h = \frac{a \cdot b}{c}\]\[h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8\,\text{cm}\]Hypotenusenabschnitt p (Kathetensatz)
p ist der Abschnitt der Hypotenuse, der an der Kathete a liegt.
\[a^2 = c \cdot p \;\Rightarrow\; p = \frac{a^2}{c}\]\[p = \frac{6^2}{10} = 3{,}6\,\text{cm}\]Hypotenusenabschnitt q (Kathetensatz)
\[b^2 = c \cdot q \;\Rightarrow\; q = \frac{b^2}{c}\]\[q = \frac{8^2}{10} = 6{,}4\,\text{cm}\]Flächeninhalt
Die beiden Katheten stehen senkrecht – eine ist die Höhe zur anderen.
\[A = \frac{a \cdot b}{2}\]\[A = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\,\text{cm}^2\]Umfang
\[U = a + b + c\]\[U = 6 + 8 + 10 = 24\,\text{cm}\]
Online üben
Stufe 1: Höhensatz
-
Aufgabe 1
\(h = 30,\ p = 20:\ q\)\(q =\)\(q = 45\)
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Aufgabe 2
\(p = 2,\ q = 7:\ h\)\(h =\)\(h \approx 3{,}74\)
-
Aufgabe 3
\(h = 8,\ q = 16:\ p\)\(p =\)\(p = 4\)
-
Aufgabe 4
\(h = 12,\ q = 6:\ p\)\(p =\)\(p = 24\)
-
Aufgabe 5
\(h = 6,\ p = 4:\ q\)\(q =\)\(q = 9\)
-
Aufgabe 6
\(p = 6,\ q = 14:\ h\)\(h =\)\(h \approx 9{,}17\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Höhensatz und Kathetensatz
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9.
Der dritte Satz der Gruppe: Satz des Pythagoras. Alle Größen eines rechtwinkligen Dreiecks samt Winkeln berechnet der Rechner für das rechtwinklige Dreieck.
Weiterlesen: Kathetensatz bei Wikipedia