Kegel berechnen
Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche und läuft nach oben in einer Spitze zusammen – wie eine Eistüte oder ein Verkehrshütchen. Für die Mantelfläche brauchst Du fast immer zuerst die Mantellinie $s$.
Die Formeln
- Die Mantellinie $s$ läuft vom Rand der Grundfläche zur Spitze. Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck – $s$ ist die Hypotenuse.
- Das Volumen ist ein Drittel eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe: Dreimal mit einem Kegel befüllt, ist der Zylinder genau voll.
- Abgerollt ist der Mantel ein Kreisausschnitt mit dem Radius $s$.
Beispiele
Beispiel 1: Partyhut
Ein Partyhut hat unten den Radius $r = 9\,\text{cm}$ und ist $h = 12\,\text{cm}$ hoch.
Der Hut hat keinen Boden – für die Pappe zählt nur der Mantel.
Beispiel 2: Oberfläche mit glatten Zahlen
$r = 6\,\text{cm}$, $h = 8\,\text{cm}$. Dann ist $s = \sqrt{36 + 64} = 10\,\text{cm}$, $M = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ und
Beispiel 3: Höhe aus dem Volumen
Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels mit $r = 4\,\text{m}$ und $V = 100\,\text{m}^3$. Umgestellt: $h = \frac{3V}{\pi r^2} = \frac{300}{16\pi} \approx 5{,}97\,\text{m}$.
Typische Fehler
- $h$ statt $s$ in der Mantelformel: $M = \pi r s$ – die Höhe ist kürzer als die Mantellinie.
- Das Drittel vergessen: Ohne $\frac{1}{3}$ rechnest Du das Volumen des Zylinders aus.
Ergebnis
So groß ist der Kegel (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet):
V ≈ 301,59 cm³ · O ≈ 301,59 cm²
| Größe | Wert |
|---|---|
| Radius r | \(r = 6\,\text{cm}\) gegeben |
| Höhe h | \(h = 8\,\text{cm}\) |
| Mantellinie s | \(s = 10\,\text{cm}\) gegeben |
| Volumen V | \(V \approx 301{,}59\,\text{cm}^3\) |
| Mantelfläche M | \(M \approx 188{,}5\,\text{cm}^2\) |
| Oberfläche O | \(O \approx 301{,}59\,\text{cm}^2\) |
Zur Einordnung: 301,59 cm³ sind 0,302 Liter (1 dm³ = 1 Liter).
Rechenweg
Höhe aus der Mantellinie
\[h = \sqrt{s^2 - r^2}\]\[h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}\]Volumen berechnen
Ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\]\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi \approx 301{,}59\,\text{cm}^3\]Mantelfläche berechnen
Abgewickelt ist der Mantel ein Kreisausschnitt mit Radius s.
\[M = \pi \cdot r \cdot s\]\[M = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \approx 188{,}5\,\text{cm}^2\]Oberfläche berechnen
Grundkreis plus Mantel.
\[O = \pi \cdot r^2 + M\]\[O = \pi \cdot 6^2 + 188{,}5 \approx 301{,}59\,\text{cm}^2\]
Online üben
Stufe 1: Volumen
-
Aufgabe 1
Kegel mit \(r = 10\,\text{cm},\) \(h = 4\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Kegel mit \(r = 10\,\text{cm},\) \(h = 4\,\text{cm}:\) \(V = 418{,}88\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 2
Kegel mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 16\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Kegel mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 16\,\text{cm}:\) \(V = 2027{,}37\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 3
Kegel mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 20\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Kegel mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 20\,\text{cm}:\) \(V = 2534{,}22\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 4
Kegel mit \(r = 6\,\text{cm},\) \(h = 12\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Kegel mit \(r = 6\,\text{cm},\) \(h = 12\,\text{cm}:\) \(V = 452{,}39\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 5
Kegel mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 3\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Kegel mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 3\,\text{cm}:\) \(V = 380{,}13\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 6
Kegel mit \(r = 8\,\text{cm},\) \(h = 5\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Kegel mit \(r = 8\,\text{cm},\) \(h = 5\,\text{cm}:\) \(V = 335{,}1\,\text{cm}^3\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kegel: Volumen, Mantellinie und Oberfläche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Das eckige Gegenstück ist die Pyramide. Wird die Spitze abgeschnitten, entsteht ein Kegelstumpf – dafür gibt es den Stumpf-Rechner.
Weiterlesen: Kegel (Geometrie) bei Wikipedia