Kegel berechnen
Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche und läuft nach oben in einer Spitze zusammen – wie eine Eistüte oder ein Verkehrshütchen. Für die Mantelfläche brauchst Du fast immer zuerst die Mantellinie $s$.
Die Formeln
- Die Mantellinie $s$ läuft vom Rand der Grundfläche zur Spitze. Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck – $s$ ist die Hypotenuse.
- Das Volumen ist ein Drittel eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe: Dreimal mit einem Kegel befüllt, ist der Zylinder genau voll.
- Abgerollt ist der Mantel ein Kreisausschnitt mit dem Radius $s$.
Beispiele
Beispiel 1: Partyhut
Ein Partyhut hat unten den Radius $r = 9\,\text{cm}$ und ist $h = 12\,\text{cm}$ hoch.
Der Hut hat keinen Boden – für die Pappe zählt nur der Mantel.
Beispiel 2: Oberfläche mit glatten Zahlen
$r = 6\,\text{cm}$, $h = 8\,\text{cm}$. Dann ist $s = \sqrt{36 + 64} = 10\,\text{cm}$, $M = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ und
Beispiel 3: Höhe aus dem Volumen
Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels mit $r = 4\,\text{m}$ und $V = 100\,\text{m}^3$. Umgestellt: $h = \frac{3V}{\pi r^2} = \frac{300}{16\pi} \approx 5{,}97\,\text{m}$.
Typische Fehler
- $h$ statt $s$ in der Mantelformel: $M = \pi r s$ – die Höhe ist kürzer als die Mantellinie.
- Das Drittel vergessen: Ohne $\frac{1}{3}$ rechnest Du das Volumen des Zylinders aus.
Online üben
Stufe 3: Oberfläche
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Aufgabe 1
Kegel mit \(r = 8\,\text{cm},\) \(h = 6\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Kegel mit \(r = 8\,\text{cm},\) \(h = 6\,\text{cm}:\) \(O = 452{,}39\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 2
Kegel mit \(r = 12\,\text{cm},\) \(h = 16\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Kegel mit \(r = 12\,\text{cm},\) \(h = 16\,\text{cm}:\) \(O = 1206{,}37\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
Kegel mit \(r = 4\,\text{cm},\) \(s = 5\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Kegel mit \(r = 4\,\text{cm},\) \(s = 5\,\text{cm}:\) \(O = 113{,}1\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
Kegel mit \(r = 20\,\text{cm},\) \(h = 21\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Kegel mit \(r = 20\,\text{cm},\) \(h = 21\,\text{cm}:\) \(O = 3078{,}76\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 5
Kegel mit \(r = 15\,\text{cm},\) \(s = 25\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Kegel mit \(r = 15\,\text{cm},\) \(s = 25\,\text{cm}:\) \(O = 1884{,}96\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 6
Kegel mit \(r = 21\,\text{cm},\) \(h = 20\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Kegel mit \(r = 21\,\text{cm},\) \(h = 20\,\text{cm}:\) \(O = 3298{,}67\,\text{cm}^2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kegel: Volumen, Mantellinie und Oberfläche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Das eckige Gegenstück ist die Pyramide. Wird die Spitze abgeschnitten, entsteht ein Kegelstumpf – dafür gibt es den Stumpf-Rechner.
Weiterlesen: Kegel (Geometrie) bei Wikipedia