Kugel berechnen
Die Kugel ist der einzige Körper ohne Ecken und Kanten: Jeder Punkt der Oberfläche ist gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Für Volumen und Oberfläche brauchst Du deshalb nur den Radius.
Die Formeln
Die Oberfläche ist genau viermal so groß wie die Fläche eines Großkreises $\pi r^2$ – also so groß wie vier Kreisscheiben mit dem Kugelradius. Beim Volumen steht $r^3$, weil drei Längen multipliziert werden. Ist der Durchmesser $d$ gegeben, rechnest Du zuerst $r = \frac{d}{2}$.
Beispiele
Beispiel 1: Fußball
Ein Ball hat etwa 22 cm Durchmesser, also $r = 11\,\text{cm}$.
Beispiel 2: Radius aus dem Volumen
Eine Kugel soll einen Liter fassen ($V = 1000\,\text{cm}^3$). Umgestellt nach $r$:
Die Literkugel hat also gut 12 cm Durchmesser.
Beispiel 3: Halbkugel
Eine Schüssel in Form einer Halbkugel mit $r = 10\,\text{cm}$ fasst $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 \approx 2094{,}4\,\text{cm}^3 \approx 2{,}1\,\ell$. Ihre gewölbte Fläche ist die halbe Kugeloberfläche: $2\pi r^2 \approx 628{,}3\,\text{cm}^2$.
Typische Fehler
- Durchmesser eingesetzt: Mit $d$ statt $r$ wird das Volumen achtmal zu groß.
- Hoch 2 und hoch 3 vertauscht: Volumen mit $r^3$ (Einheit $\text{cm}^3$), Oberfläche mit $r^2$ (Einheit $\text{cm}^2$).
- Klammer beim Rückrechnen: Erst $\frac{3V}{4\pi}$ ausrechnen, dann die dritte Wurzel ziehen.
Ergebnis
So groß ist die Kugel (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet):
V ≈ 5575,28 cm³ · O ≈ 1520,53 cm²
| Größe | Wert |
|---|---|
| Radius r | \(r = 11\,\text{cm}\) |
| Durchmesser d | \(d = 22\,\text{cm}\) gegeben |
| Volumen V | \(V \approx 5575{,}28\,\text{cm}^3\) |
| Oberfläche O | \(O \approx 1520{,}53\,\text{cm}^2\) |
Zur Einordnung: 5575,28 cm³ sind 5,575 Liter (1 dm³ = 1 Liter).
Rechenweg
Radius aus dem Durchmesser
\[r = \frac{d}{2}\]\[r = \frac{22}{2} = 11\,\text{cm}\]Volumen berechnen
\[V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\]\[V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 11^3 = \frac{5324}{3}\pi \approx 5575{,}28\,\text{cm}^3\]Oberfläche berechnen
Die Kugeloberfläche ist genau viermal so groß wie ein Kreis mit demselben Radius.
\[O = 4 \cdot \pi \cdot r^2\]\[O = 4 \cdot \pi \cdot 11^2 = 484\pi \approx 1520{,}53\,\text{cm}^2\]
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Stufe 1: Volumen
-
Aufgabe 1
\(r = 21\,\text{cm}:\ V\)cm³\(r = 21\,\text{cm}:\ V = 38.792{,}39\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 2
\(r = 30\,\text{cm}:\ V\)cm³\(r = 30\,\text{cm}:\ V = 113.097{,}34\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 3
\(r = 10\,\text{cm}:\ V\)cm³\(r = 10\,\text{cm}:\ V = 4188{,}79\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 4
\(r = 15\,\text{m}:\ V\)m³\(r = 15\,\text{m}:\ V = 14.137{,}17\,\text{m}^3\)
-
Aufgabe 5
\(r = 9\,\text{cm}:\ V\)cm³\(r = 9\,\text{cm}:\ V = 3053{,}63\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 6
\(r = 13{,}5\,\text{cm}:\ V\)cm³\(r = 13{,}5\,\text{cm}:\ V = 10.305{,}99\,\text{cm}^3\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kugel: Volumen und Oberfläche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Mehr zur Grundlage aller runden Körper findest Du beim Kreis. Alle Körper im Vergleich: Körper.
Weiterlesen: Kugel bei Wikipedia