Pyramide berechnen
Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche und Dreiecke als Seitenflächen, die sich in der Spitze treffen. In der Schule geht es meist um die quadratische Pyramide. Die wichtigste Hürde ist der Unterschied zwischen der Körperhöhe $h$ und der Höhe $h_s$ der Seitendreiecke.
Die Formeln
- $h$ ist die Körperhöhe: senkrecht von der Spitze auf die Mitte der Grundfläche.
- $h_s$ ist die Höhe einer Seitenfläche: von der Spitze senkrecht auf eine Grundkante. Sie ist immer länger als $h$.
- Der Mantel besteht aus vier gleichen Dreiecken mit je $\frac{a \cdot h_s}{2}$ – zusammen $2\,a\,h_s$.
- Die Seitenkante $s$ von einer Ecke zur Spitze: $s = \sqrt{h_s^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$.
Wie beim Kegel passt die Pyramide dreimal in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe – daher das $\frac{1}{3}$. Die Volumenformel $V = \frac{1}{3}\,G \cdot h$ gilt für jede Pyramide, auch mit dreieckiger oder rechteckiger Grundfläche.
Beispiele
Beispiel 1: alles aus a und h
$a = 8\,\text{cm}$, $h = 3\,\text{cm}$. Die halbe Grundkante ist 4 cm.
Beispiel 2: Zeltdach
Ein Pavillon hat ein Pyramidendach mit 10 m Grundkante und 12 m Höhe. Für die Dachfläche: $h_s = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\,\text{m}$ und $M = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260\,\text{m}^2$. Der Boden gehört nicht zum Dach.
Beispiel 3: Höhe aus dem Volumen
$V = 64\,\text{cm}^3$, $a = 8\,\text{cm}$: $h = \frac{3V}{a^2} = \frac{192}{64} = 3\,\text{cm}$.
Typische Fehler
- $h$ und $h_s$ verwechselt: Ins Volumen gehört $h$, in den Mantel $h_s$.
- Ganze statt halbe Kante: Im Pythagoras-Dreieck für $h_s$ steht $\frac{a}{2}$, nicht $a$.
- Das Drittel vergessen: $a^2 \cdot h$ allein wäre das Volumen eines Quaders.
Ergebnis
So groß ist die quadratische Pyramide (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet):
V = 64 cm³ · O = 144 cm²
| Größe | Wert |
|---|---|
| Grundkante a | \(a = 8\,\text{cm}\) gegeben |
| Höhe h der Pyramide | \(h = 3\,\text{cm}\) gegeben |
| Höhe hₛ der Seitenfläche | \(h_s = 5\,\text{cm}\) |
| Seitenkante s | \(s \approx 6{,}4\,\text{cm}\) |
| Volumen V | \(V = 64\,\text{cm}^3\) |
| Mantelfläche M | \(M = 80\,\text{cm}^2\) |
| Oberfläche O | \(O = 144\,\text{cm}^2\) |
Zur Einordnung: 64 cm³ sind 0,064 Liter (1 dm³ = 1 Liter).
Rechenweg
Volumen berechnen
Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.
\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\]\[V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 3 = 64\,\text{cm}^3\]Höhe der Seitenfläche
Pythagoras im Dreieck aus Pyramidenhöhe h, halber Grundkante a/2 und h_s.
\[h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]\[h_s = \sqrt{3^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = 5\,\text{cm}\]Seitenkante berechnen
Pythagoras in der Seitenfläche (halbes Dreieck).
\[s = \sqrt{h_s^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]\[s = \sqrt{5^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} \approx 6{,}4\,\text{cm}\]Mantelfläche berechnen
Der Mantel besteht aus 4 gleichen Dreiecken.
\[M = 4 \cdot \frac{a \cdot h_s}{2} = 2 \cdot a \cdot h_s\]\[M = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80\,\text{cm}^2\]Oberfläche berechnen
Quadratische Grundfläche plus Mantel.
\[O = a^2 + M\]\[O = 8^2 + 80 = 144\,\text{cm}^2\]
Online üben
Stufe 1: Volumen
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Aufgabe 1
Pyramide mit \(a = 3\,\text{cm},\) \(h = 13\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Pyramide mit \(a = 3\,\text{cm},\) \(h = 13\,\text{cm}:\) \(V = 39\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 2
Pyramide mit \(a = 13\,\text{cm},\) \(h = 12\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Pyramide mit \(a = 13\,\text{cm},\) \(h = 12\,\text{cm}:\) \(V = 676\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 3
Pyramide mit \(a = 9\,\text{cm},\) \(h = 11\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Pyramide mit \(a = 9\,\text{cm},\) \(h = 11\,\text{cm}:\) \(V = 297\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 4
Pyramide mit \(a = 13\,\text{cm},\) \(h = 6\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Pyramide mit \(a = 13\,\text{cm},\) \(h = 6\,\text{cm}:\) \(V = 338\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 5
Pyramide mit \(a = 13\,\text{cm},\) \(h = 15\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Pyramide mit \(a = 13\,\text{cm},\) \(h = 15\,\text{cm}:\) \(V = 845\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 6
Pyramide mit \(a = 6\,\text{cm},\) \(h = 4\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Pyramide mit \(a = 6\,\text{cm},\) \(h = 4\,\text{cm}:\) \(V = 48\,\text{cm}^3\)
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Arbeitsblatt: Quadratische Pyramide: Volumen und Oberfläche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Abgeschnittene Pyramiden berechnet der Stumpf-Rechner. Alle Körper im Vergleich: Körper.
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