Pyramide berechnen
Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche und Dreiecke als Seitenflächen, die sich in der Spitze treffen. In der Schule geht es meist um die quadratische Pyramide. Die wichtigste Hürde ist der Unterschied zwischen der Körperhöhe $h$ und der Höhe $h_s$ der Seitendreiecke.
Die Formeln
- $h$ ist die Körperhöhe: senkrecht von der Spitze auf die Mitte der Grundfläche.
- $h_s$ ist die Höhe einer Seitenfläche: von der Spitze senkrecht auf eine Grundkante. Sie ist immer länger als $h$.
- Der Mantel besteht aus vier gleichen Dreiecken mit je $\frac{a \cdot h_s}{2}$ – zusammen $2\,a\,h_s$.
- Die Seitenkante $s$ von einer Ecke zur Spitze: $s = \sqrt{h_s^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$.
Wie beim Kegel passt die Pyramide dreimal in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe – daher das $\frac{1}{3}$. Die Volumenformel $V = \frac{1}{3}\,G \cdot h$ gilt für jede Pyramide, auch mit dreieckiger oder rechteckiger Grundfläche.
Beispiele
Beispiel 1: alles aus a und h
$a = 8\,\text{cm}$, $h = 3\,\text{cm}$. Die halbe Grundkante ist 4 cm.
Beispiel 2: Zeltdach
Ein Pavillon hat ein Pyramidendach mit 10 m Grundkante und 12 m Höhe. Für die Dachfläche: $h_s = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\,\text{m}$ und $M = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260\,\text{m}^2$. Der Boden gehört nicht zum Dach.
Beispiel 3: Höhe aus dem Volumen
$V = 64\,\text{cm}^3$, $a = 8\,\text{cm}$: $h = \frac{3V}{a^2} = \frac{192}{64} = 3\,\text{cm}$.
Typische Fehler
- $h$ und $h_s$ verwechselt: Ins Volumen gehört $h$, in den Mantel $h_s$.
- Ganze statt halbe Kante: Im Pythagoras-Dreieck für $h_s$ steht $\frac{a}{2}$, nicht $a$.
- Das Drittel vergessen: $a^2 \cdot h$ allein wäre das Volumen eines Quaders.
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Stufe 2: Oberfläche mit h_s
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Aufgabe 1
Pyramide mit \(a = 11\,\text{cm},\) \(h_s = 5\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Pyramide mit \(a = 11\,\text{cm},\) \(h_s = 5\,\text{cm}:\) \(O = 231\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 2
Pyramide mit \(a = 14\,\text{cm},\) \(h_s = 13\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Pyramide mit \(a = 14\,\text{cm},\) \(h_s = 13\,\text{cm}:\) \(O = 560\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
Pyramide mit \(a = 14\,\text{cm},\) \(h_s = 7\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Pyramide mit \(a = 14\,\text{cm},\) \(h_s = 7\,\text{cm}:\) \(O = 392\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
Pyramide mit \(a = 3\,\text{cm},\) \(h_s = 14\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Pyramide mit \(a = 3\,\text{cm},\) \(h_s = 14\,\text{cm}:\) \(O = 93\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 5
Pyramide mit \(a = 6\,\text{cm},\) \(h_s = 16\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Pyramide mit \(a = 6\,\text{cm},\) \(h_s = 16\,\text{cm}:\) \(O = 228\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 6
Pyramide mit \(a = 11\,\text{cm},\) \(h_s = 9\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Pyramide mit \(a = 11\,\text{cm},\) \(h_s = 9\,\text{cm}:\) \(O = 319\,\text{cm}^2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Quadratische Pyramide: Volumen und Oberfläche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Abgeschnittene Pyramiden berechnet der Stumpf-Rechner. Alle Körper im Vergleich: Körper.
Weiterlesen: Pyramide (Geometrie) bei Wikipedia