Raute berechnen
Eine Raute (Rhombus) ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Ihre Diagonalen stehen senkrecht aufeinander – damit lässt sich die Fläche besonders leicht berechnen.
Eigenschaften
- Alle vier Seiten sind gleich lang; gegenüberliegende Seiten sind parallel – eine Raute ist also ein besonderes Parallelogramm.
- Die Diagonalen $e$ und $f$ halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander.
- Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen. Sind zusätzlich alle Winkel rechte Winkel, ist die Raute ein Quadrat.
Die Formeln
Zeichnest Du um die Raute ein Rechteck, dessen Seiten durch die Ecken gehen, ist dieses Rechteck $e$ lang und $f$ breit. Die Raute füllt genau die Hälfte davon – die vier Ecken des Rechtecks sind vier Dreiecke, die zusammen genauso groß sind wie die Raute.
Beispiele
Beispiel 1: Fläche aus den Diagonalen
Ein Fliesenmuster besteht aus Rauten mit $e = 12\,\text{cm}$ und $f = 9\,\text{cm}$:
Beispiel 2: Seite und Umfang aus den Diagonalen
$e = 24\,\text{cm}$ und $f = 10\,\text{cm}$. Die halben Diagonalen sind 12 cm und 5 cm; mit dem Satz des Pythagoras ist $a = \sqrt{144 + 25} = 13\,\text{cm}$ und $U = 4 \cdot 13 = 52\,\text{cm}$.
Beispiel 3: fehlende Diagonale
$A = 30\,\text{cm}^2$ und $e = 10\,\text{cm}$: Aus $A = \frac{e \cdot f}{2}$ folgt $f = \frac{2 \cdot 30}{10} = 6\,\text{cm}$.
Tipp
Kennst Du Seite und Höhe, rechnest Du wie beim Parallelogramm: $A = a \cdot h$. Bei $a = 7\,\text{cm}$ und $h = 5\,\text{cm}$ sind das $35\,\text{cm}^2$.
Ergebnis
Ergebnis für die Raute (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet):
A = 120 cm² · U = 52 cm
| Größe | Wert |
|---|---|
| Seite a | \(a = 13\,\text{cm}\) |
| Diagonale e | \(e = 24\,\text{cm}\) gegeben |
| Diagonale f | \(f = 10\,\text{cm}\) gegeben |
| Höhe h | \(h \approx 9{,}23\,\text{cm}\) |
| Flächeninhalt A | \(A = 120\,\text{cm}^2\) |
| Umfang U | \(U = 52\,\text{cm}\) |
Rechenweg
Flächeninhalt aus den Diagonalen
Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Die Raute ist halb so groß wie das Rechteck aus e und f.
\[A = \frac{e \cdot f}{2}\]\[A = \frac{24 \cdot 10}{2} = 120\,\text{cm}^2\]Seite aus den Diagonalen
Die Diagonalen halbieren sich und bilden mit der Seite ein rechtwinkliges Dreieck (Pythagoras).
\[a = \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2}\]\[a = \sqrt{\left(\frac{24}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = 13\,\text{cm}\]Umfang berechnen
Alle vier Seiten der Raute sind gleich lang.
\[U = 4 \cdot a\]\[U = 4 \cdot 13 = 52\,\text{cm}\]Höhe berechnen
Aus A = a · h folgt:
\[h = \frac{A}{a}\]\[h = \frac{120}{13} \approx 9{,}23\,\text{cm}\]
Online üben
Stufe 1: Flächeninhalt aus den Diagonalen
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Aufgabe 1
Drachenviereck mit \(e = 8\,\text{cm},\) \(f = 8\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Drachenviereck mit \(e = 8\,\text{cm},\) \(f = 8\,\text{cm}:\) \(A = 32\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 2
Raute mit \(e = 14\,\text{cm},\) \(f = 10\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Raute mit \(e = 14\,\text{cm},\) \(f = 10\,\text{cm}:\) \(A = 70\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
Drachenviereck mit \(e = 16\,\text{cm},\) \(f = 6\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Drachenviereck mit \(e = 16\,\text{cm},\) \(f = 6\,\text{cm}:\) \(A = 48\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
Drachenviereck mit \(e = 14\,\text{cm},\) \(f = 12\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Drachenviereck mit \(e = 14\,\text{cm},\) \(f = 12\,\text{cm}:\) \(A = 84\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 5
Drachenviereck mit \(e = 7\,\text{cm},\) \(f = 13\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Drachenviereck mit \(e = 7\,\text{cm},\) \(f = 13\,\text{cm}:\) \(A = 45{,}5\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 6
Raute mit \(e = 6\,\text{cm},\) \(f = 6\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Raute mit \(e = 6\,\text{cm},\) \(f = 6\,\text{cm}:\) \(A = 18\,\text{cm}^2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Raute und Drachenviereck
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–8.
Mit derselben Flächenformel rechnest Du beim Drachenviereck. Alle Vierecke im Vergleich: Haus der Vierecke.
Weiterlesen: Raute bei Wikipedia