Winkel an Geraden
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, entstehen acht Winkel – aber nur zwei verschiedene Größen. Wer die fünf Winkelpaare kennt, kann aus einem einzigen Winkel alle anderen bestimmen.
Die fünf Winkelpaare
| Paar | Lage | Merkbild | Beziehung |
|---|---|---|---|
| Nebenwinkel | an derselben Kreuzung nebeneinander auf einer Geraden | – | zusammen $180^\circ$ |
| Scheitelwinkel | an derselben Kreuzung gegenüber | X | gleich groß |
| Stufenwinkel | an beiden Kreuzungen an derselben Stelle | F | gleich groß (bei Parallelen) |
| Wechselwinkel | an beiden Kreuzungen über Kreuz, zwischen den Parallelen | Z | gleich groß (bei Parallelen) |
| Nachbarwinkel | an beiden Kreuzungen auf derselben Seite zwischen den Parallelen | E bzw. U | zusammen $180^\circ$ (bei Parallelen) |
Neben- und Scheitelwinkel gelten an jeder Kreuzung zweier Geraden. Stufen-, Wechsel- und Nachbarwinkel vergleichen dagegen zwei Kreuzungen – ihre Beziehungen gelten nur, wenn die beiden geschnittenen Geraden parallel sind. Die Nachbarwinkel heißen in manchen Büchern auch entgegengesetzte Winkel oder Ergänzungswinkel.
Warum gelten die Regeln?
Verschiebst Du die Gerade g entlang der schneidenden Geraden, bis sie auf h liegt, wandert die ganze Kreuzung mit – ohne sich zu drehen. Jeder Winkel landet dabei auf seinem Stufenwinkel. Deshalb sind Stufenwinkel gleich groß. Ein Wechselwinkel ist der Scheitelwinkel eines Stufenwinkels, also ebenfalls gleich groß. Und ein Nachbarwinkel ist der Nebenwinkel eines Stufenwinkels – zusammen 180°.
Beispiele
Beispiel 1: alle Winkel aus einem
An der oberen Kreuzung ist $\alpha = 62^\circ$. Der Nebenwinkel ist $180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$. Scheitelwinkel und alle Stufen- und Wechselwinkel an der unteren Kreuzung sind wieder $62^\circ$ bzw. $118^\circ$ – genau wie im Bild oben.
Beispiel 2: Winkel am Knick
Zwischen zwei Parallelen verläuft ein Weg mit einem Knick. Sein erstes Stück bildet mit g einen Winkel von $35^\circ$, das zweite mit h einen Winkel von $48^\circ$. Zieht man durch den Knickpunkt eine dritte Parallele, entstehen zwei Paare Wechselwinkel. Der Winkel am Knick ist deshalb
Beispiel 3: Winkel mit Variablen
Zwei Stufenwinkel an Parallelen sind $(3x + 10)^\circ$ und $(2x + 34)^\circ$ groß. Da Stufenwinkel gleich groß sind: $3x + 10 = 2x + 34$, also $x = 24$. Beide Winkel messen $82^\circ$.
Sind die Geraden parallel? – Die Umkehrung
Die Regeln gelten auch rückwärts: Sind an zwei Kreuzungen ein Paar Stufenwinkel (oder Wechselwinkel) gleich groß, dann sind die beiden Geraden parallel. Ergänzen sich zwei Nachbarwinkel zu genau $180^\circ$, ebenso. Misst Du dagegen $72^\circ$ und $70^\circ$, sind die Geraden nicht parallel – sie schneiden sich irgendwo.
Typische Fehler
- Regeln ohne Parallelen benutzt: Stufen- und Wechselwinkel sind nur bei parallelen Geraden gleich.
- Nachbarwinkel für gleich gehalten: Sie liegen auf derselben Seite, ergänzen sich aber zu $180^\circ$.
- Falsche Kreuzung: Scheitel- und Nebenwinkel gehören zur selben Kreuzung, Stufen- und Wechselwinkel zu verschiedenen.
Ergebnis
An den beiden Kreuzungen kommen nur zwei Winkelgrößen vor:
Rechenweg
Scheitelwinkel
Gegenüberliegende Winkel an einer Kreuzung (Scheitelwinkel) sind gleich groß.
\[\alpha' = \alpha = 90^\circ\]Nebenwinkel
Nebeneinanderliegende Winkel an einer Geraden (Nebenwinkel) ergänzen sich zu 180° – sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel.
\[\beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\]Stufenwinkel und Wechselwinkel
Sind g und h parallel, sieht die zweite Kreuzung genauso aus wie die erste. Winkel an der gleichen Stelle (Stufenwinkel, „F-Figur“) und Winkel über Kreuz (Wechselwinkel, „Z-Figur“) sind gleich groß.
\[\text{Stufenwinkel} = \text{Wechselwinkel} = 90^\circ\]\[\text{dazu gehörige Nebenwinkel} = 90^\circ\]
Online üben
Gib die Winkelgröße als Zahl ein (ohne Gradzeichen), bei Gleichungen den Wert von x.
Stufe 1: ein Schritt
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Aufgabe 1
\(g \parallel h,\) \(\alpha = 80^\circ:\) Nebenwinkel von \(\alpha\)°\(g \parallel h,\) \(\alpha = 80^\circ:\) Nebenwinkel von \(\alpha = 100^\circ\)
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Aufgabe 2
\(g \parallel h,\) \(\alpha = 145^\circ:\) Wechselwinkel von \(\alpha\)°\(g \parallel h,\) \(\alpha = 145^\circ:\) Wechselwinkel von \(\alpha = 145^\circ\)
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Aufgabe 3
\(g \parallel h,\) \(\alpha = 144^\circ:\) Nebenwinkel von \(\alpha\)°\(g \parallel h,\) \(\alpha = 144^\circ:\) Nebenwinkel von \(\alpha = 36^\circ\)
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Aufgabe 4
\(g \parallel h,\) \(\alpha = 106^\circ:\) Nebenwinkel von \(\alpha\)°\(g \parallel h,\) \(\alpha = 106^\circ:\) Nebenwinkel von \(\alpha = 74^\circ\)
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Aufgabe 5
\(g \parallel h,\) \(\alpha = 30^\circ:\) Wechselwinkel von \(\alpha\)°\(g \parallel h,\) \(\alpha = 30^\circ:\) Wechselwinkel von \(\alpha = 30^\circ\)
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Aufgabe 6
\(g \parallel h,\) \(\alpha = 69^\circ:\) Scheitelwinkel von \(\alpha\)°\(g \parallel h,\) \(\alpha = 69^\circ:\) Scheitelwinkel von \(\alpha = 69^\circ\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Winkel an Geraden und Parallelen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–7.
Winkelarten, Messen mit dem Geodreieck und die Winkelsumme im Dreieck: Winkel. Fehlende Winkel in Dreiecken, Vierecken und am Kreis berechnet der Winkelrechner.
Weiterlesen: Winkel bei Wikipedia