Zylinder berechnen
Dose, Rohr, Kerze: Ein Zylinder hat zwei gleich große Kreise als Grund- und Deckfläche und dazwischen eine gewölbte Mantelfläche. Er funktioniert wie ein Prisma – nur mit einem Kreis als Grundfläche.
Die Formeln
Das Volumen ist wieder Grundfläche mal Höhe; die Grundfläche ist der Kreis $\pi r^2$. Schneidest Du den Mantel senkrecht auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck: eine Seite ist die Höhe $h$, die andere der Kreisumfang $2\pi r$.
Beispiele
Beispiel 1: Konservendose
Eine Dose hat den Radius $r = 5\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 11\,\text{cm}$.
Beispiel 2: Höhe aus dem Volumen
Ein Messbecher mit 8 cm Durchmesser soll genau einen Liter fassen. Mit $r = 4\,\text{cm}$ und $V = 1000\,\text{cm}^3$:
Beispiel 3: Radius aus dem Volumen
Ein Wassertank ist 2 m hoch und fasst $6{,}28\,\text{m}^3$. Dann ist $r^2 = \frac{6{,}28}{\pi \cdot 2} \approx 1$, also $r \approx 1\,\text{m}$.
Typische Fehler
- Durchmesser statt Radius: Steht $d = 10\,\text{cm}$ in der Aufgabe, rechnest Du mit $r = 5\,\text{cm}$.
- Nur einen Kreis gezählt: Die Oberfläche hat zwei Kreise – außer bei einem offenen Gefäß oder Rohr.
- $r^2$ vergessen: $\pi \cdot r \cdot h$ ist kein Volumen. Prüfe die Einheit: Für $\text{cm}^3$ müssen drei Längen multipliziert werden.
Ergebnis
So groß ist der Zylinder (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet):
V = 6,28 cm³ · O ≈ 18,84 cm²
| Größe | Wert |
|---|---|
| Radius r | \(r \approx 1\,\text{cm}\) |
| Durchmesser d | \(d \approx 2\,\text{cm}\) |
| Höhe h | \(h = 2\,\text{cm}\) gegeben |
| Volumen V | \(V = 6{,}28\,\text{cm}^3\) gegeben |
| Mantelfläche M | \(M \approx 12{,}56\,\text{cm}^2\) |
| Oberfläche O | \(O \approx 18{,}84\,\text{cm}^2\) |
Zur Einordnung: 6,28 cm³ sind 0,006 Liter (1 dm³ = 1 Liter).
Rechenweg
Radius aus dem Volumen
\[r = \sqrt{\frac{V}{\pi \cdot h}}\]\[r = \sqrt{\frac{6{,}28}{\pi \cdot 2}} \approx 1\,\text{cm}\]Durchmesser berechnen
\[d = 2 \cdot r\]\[d = 2 \cdot 1 \approx 2\,\text{cm}\]Mantelfläche berechnen
Abgerollt ist der Mantel ein Rechteck: Kreisumfang 2πr mal Höhe h.
\[M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\]\[M = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 2 \approx 12{,}56\,\text{cm}^2\]Oberfläche berechnen
Zwei Kreise (Boden und Deckel) plus Mantel.
\[O = 2 \cdot \pi r^2 + 2 \cdot \pi r h\]\[O = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 + 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 2 \approx 18{,}84\,\text{cm}^2\]
Online üben
Stufe 1: Volumen
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Aufgabe 1
Zylinder mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 3\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Zylinder mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 3\,\text{cm}:\) \(V = 1140{,}4\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 2
Zylinder mit \(r = 2\,\text{cm},\) \(h = 9\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Zylinder mit \(r = 2\,\text{cm},\) \(h = 9\,\text{cm}:\) \(V = 113{,}1\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 3
Zylinder mit \(r = 2\,\text{cm},\) \(h = 20\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Zylinder mit \(r = 2\,\text{cm},\) \(h = 20\,\text{cm}:\) \(V = 251{,}33\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 4
Zylinder mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 13\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Zylinder mit \(r = 11\,\text{cm},\) \(h = 13\,\text{cm}:\) \(V = 4941{,}73\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 5
Zylinder mit \(r = 7\,\text{cm},\) \(h = 5\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Zylinder mit \(r = 7\,\text{cm},\) \(h = 5\,\text{cm}:\) \(V = 769{,}69\,\text{cm}^3\)
-
Aufgabe 6
Zylinder mit \(r = 5\,\text{cm},\) \(h = 12\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Zylinder mit \(r = 5\,\text{cm},\) \(h = 12\,\text{cm}:\) \(V = 942{,}48\,\text{cm}^3\)
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Arbeitsblatt: Zylinder: Volumen, Mantel und Oberfläche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Ein Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe hat genau ein Drittel des Zylindervolumens – weiter beim Kegel. Ein Hohlzylinder (Rohr) ist der Unterschied zweier Zylinder; zusammengesetzte Körper findest Du bei Stümpfe und zusammengesetzte Körper.
Weiterlesen: Zylinder (Geometrie) bei Wikipedia