Baumdiagramm und Pfadregeln
Ein Baumdiagramm zeigt alle möglichen Ausgänge eines mehrstufigen Zufallsexperiments – etwa zweimal Würfeln, zweimal Ziehen aus einer Urne oder drei Elfmeter hintereinander. Mit zwei einfachen Regeln liest Du daraus jede Wahrscheinlichkeit ab.
So zeichnest Du ein Baumdiagramm
- Vom Startpunkt aus zeichnest Du für jedes mögliche Ergebnis der ersten Stufe einen Ast und schreibst die Wahrscheinlichkeit daran.
- Am Ende jedes Astes beginnt die zweite Stufe mit denselben Ergebnissen – die Wahrscheinlichkeiten können sich aber ändern (siehe „ohne Zurücklegen“).
- Jeder Weg vom Start bis zu einem Ende ist ein Pfad und steht für ein Ergebnis, z. B. „erst Treffer, dann Niete“.
- Kontrolle: An jeder Verzweigung ergeben die Äste zusammen 1.
Das Bild zeigt zwei Freiwürfe einer Basketballspielerin, die 70 % ihrer Würfe trifft (T = Treffer, N = daneben). Die Würfe beeinflussen sich nicht, deshalb stehen auf beiden Stufen dieselben Zahlen.
Die beiden Pfadregeln
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an seinen Ästen: $P(\text{TT}) = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49$.
2. Pfadregel (Summenregel)
Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert: $P(\text{genau ein Treffer}) = P(\text{TN}) + P(\text{NT}) = 0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42$.
Warum malnehmen? Trifft sie in 70 % aller Fälle beim ersten Wurf und von diesen Fällen wieder in 70 % beim zweiten, dann klappt beides in 70 % von 70 %, also in 49 % der Fälle.
Mit und ohne Zurücklegen
Beispiel: Lose ziehen
In einer Lostrommel liegen 4 Gewinne und 6 Nieten. Ziehst Du zwei Lose ohne sie zurückzulegen, ändert sich die Trommel nach dem ersten Zug:
Mit Zurücklegen wären es $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} = 16\,\%$. Beim zweiten Zug steht ohne Zurücklegen immer der Nenner 9 – eine Kugel bzw. ein Los ist schon weg.
„Mindestens einmal“: das Gegenereignis
Bei „mindestens einmal“ gehören fast alle Pfade zum Ereignis. Schneller ist der Weg über das Gegenteil „kein einziges Mal“, das nur aus einem Pfad besteht:
Das ist weniger, als viele schätzen: Drei Würfe garantieren noch lange keine Sechs.
Typische Fehler
- Pfade addiert statt malgenommen: Entlang eines Pfades wird immer multipliziert, nur verschiedene Pfade werden addiert.
- Reihenfolge vergessen: „Genau ein Treffer“ besteht aus zwei Pfaden (TN und NT), nicht nur aus einem.
- „Ohne Zurücklegen“ überlesen: Dann ändern sich Zähler und Nenner auf der zweiten Stufe.
Online üben
Gib die Wahrscheinlichkeit als gekürzten Bruch ein, z. B. 2/15.
Stufe 3: mindestens einmal, drei Stufen
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Aufgabe 1
3-mal, mindestens eine Treffer (p = 1/4): \(P\)3-mal, mindestens eine Treffer (p = 1/4): \(P = \frac{37}{64}\)
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Aufgabe 2
3-mal, mindestens eine Kopf beim Münzwurf: \(P\)3-mal, mindestens eine Kopf beim Münzwurf: \(P = \frac{7}{8}\)
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Aufgabe 3
2-mal, mindestens eine Treffer (p = 2/5): \(P\)2-mal, mindestens eine Treffer (p = 2/5): \(P = \frac{16}{25}\)
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Aufgabe 4
2-mal, mindestens eine Treffer (p = 1/4): \(P\)2-mal, mindestens eine Treffer (p = 1/4): \(P = \frac{7}{16}\)
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Aufgabe 5
3-mal, kein einziges Mal Sechs beim Würfeln: \(P\)3-mal, kein einziges Mal Sechs beim Würfeln: \(P = \frac{125}{216}\)
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Aufgabe 6
3-mal, jedes Mal Treffer (p = 2/5): \(P\)3-mal, jedes Mal Treffer (p = 2/5): \(P = \frac{8}{125}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Baumdiagramm und Pfadregeln
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–10.
Grundbegriffe, Laplace-Regel und Gegenereignis: Wahrscheinlichkeit. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit je nach Vorwissen, hilft die bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel. Viele gleiche Stufen mit Treffer und Niete führen zur Binomialverteilung.
Weiterlesen: Baumdiagramm bei Wikipedia