Ungleichungs-Rechner
Gib eine Ungleichung ein – linear, quadratisch, mit höheren Potenzen oder mit $x$ im Nenner. Der Rechner bringt alles auf eine Seite, zerlegt in Faktoren, stellt die Vorzeichentabelle auf und gibt die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an, dazu den Zahlenstrahl und den Graphen.
Ergebnis
Lösungsmenge der Ungleichung $x^{2} \leq 9$:
Rechenweg
Auf eine Seite bringen und faktorisieren
Bring alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht. Dann wird zusammengefasst und in Faktoren zerlegt.
\[x^{2} - 9 \leq 0\]\[\left(x + 3\right)\left(x - 3\right) \leq 0\]Kritische Stellen
An diesen Stellen kann h(x) das Vorzeichen wechseln. Dazwischen bleibt das Vorzeichen gleich.
\[x + 3 = 0\quad\Rightarrow\quad x = -3\]\[x - 3 = 0\quad\Rightarrow\quad x = 3\]Vorzeichentabelle
Für jeden Bereich zwischen den Stellen wird das Vorzeichen jedes Faktors bestimmt (z. B. mit einer Testzahl). Das Vorzeichen von h(x) ist das Produkt der Vorzeichen.
$x$ $x < -3$ $-3$ $-3 < x < 3$ $3$ $x > 3$ $x + 3$ − 0 + + + $x - 3$ − − − 0 + $h(x)$ + 0 − 0 + Lösungsmenge ablesen
Gesucht sind alle x, für die h(x) negativ (−) oder 0 ist. Stellen mit „n. d.“ gehören nie dazu. Die Nullstellen gehören dazu (Zeichen mit „oder gleich“).
\[\mathbb{L} = \left[-3;\ 3\right]\]
Lösungsmenge am Zahlenstrahl
Graph von h(x)
h(x) ist die linke minus die rechte Seite. Grün: die x-Werte der Lösungsmenge – dort liegt der Graph unterhalb der x-Achse oder auf ihr.
So rechnet der Rechner
- Definitionsmenge: Steht $x$ in einem Nenner, sind die Nullstellen des Nenners verboten. Sie gehören nie zur Lösungsmenge.
- Auf eine Seite bringen: Aus $L \lessgtr R$ wird $L - R \lessgtr 0$. Brüche werden auf einen Bruchstrich gebracht – so steht links ein einziger Term $h(x)$, der mit $0$ verglichen wird. Mit dem Nenner wird nicht malgenommen, denn sein Vorzeichen ist unbekannt.
- Faktorisieren: Zähler und Nenner werden in Faktoren zerlegt. Ihre Nullstellen sind die kritischen Stellen – nur dort kann $h(x)$ das Vorzeichen wechseln.
- Vorzeichentabelle: Zwischen den kritischen Stellen hat jeder Faktor ein festes Vorzeichen. Aus den Vorzeichen der Faktoren ergibt sich das Vorzeichen von $h(x)$.
- Ablesen: Gesucht sind die Bereiche mit dem passenden Vorzeichen. Bei $\leq$ und $\geq$ kommen die Nullstellen des Zählers dazu – Nennernullstellen nie.
Faktorisieren und exakte Nullstellen berechnet das Computeralgebrasystem Maxima. Lassen sich Nullstellen nicht exakt angeben (etwa bei manchen Gleichungen dritten Grades), rechnet der Rechner mit gerundeten Werten und kennzeichnet sie mit $\approx$. Zur Kontrolle prüft er das Ergebnis an vielen Testzahlen.
Intervallschreibweise kurz erklärt
| Ungleichung | Intervall | Bedeutung |
|---|---|---|
| $-1 < x < 3$ | $\left]-1;\ 3\right[$ | beide Grenzen gehören nicht dazu |
| $-1 \leq x \leq 3$ | $\left[-1;\ 3\right]$ | beide Grenzen gehören dazu |
| $x \geq 2$ | $\left[2;\ \infty\right[$ | bei $\infty$ steht immer eine offene Klammer |
| $x < 2$ oder $x > 3$ | $\left]-\infty;\ 2\right[ \cup \left]3;\ \infty\right[$ | „∪“ heißt „vereinigt mit“ |
Statt nach außen gedrehter eckiger Klammern sind auch runde Klammern üblich: $(-1;\ 3)$ bedeutet dasselbe wie $\left]-1;\ 3\right[$.
Ausführlich erklärt mit Beispielen und Übungen: lineare Ungleichungen, quadratische Ungleichungen und Bruchungleichungen. Ungleichungen mit Betrag findest Du bei den Betragsungleichungen, Gleichungen mit $x$ im Nenner löst der Bruchgleichungs-Rechner.