Determinante berechnen
Die Determinante ist eine einzige Zahl, die man einer quadratischen Matrix zuordnet. Sie verrät, ob die Matrix invertierbar ist, ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat – und um welchen Faktor die Matrix Flächen oder Volumen verändert.
2×2-Matrizen
Also das Produkt auf der Diagonale von links oben nach rechts unten, davon abgezogen das Produkt auf der anderen Diagonale. Beispiel: $\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 5 = 3 + 10 = 13$.
3×3-Matrizen: Regel von Sarrus
Hänge Spalte 1 und Spalte 2 rechts noch einmal an. Jetzt findest Du sechs schräge Linien mit je drei Zahlen: Die drei, die nach rechts unten fallen, liefern Produkte mit Plus, die drei, die nach rechts oben steigen, Produkte mit Minus.
Beispiel
Größere Matrizen
Sarrus gilt nur für 3×3. Für 4×4 und größer gibt es zwei Wege:
- Dreiecksform: Mit dem Gauß-Verfahren unter der Diagonalen Nullen erzeugen. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelemente – jeder Zeilentausch kehrt das Vorzeichen um, das Addieren eines Vielfachen einer Zeile ändert nichts.
- Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte (Laplace): Jedes Element der Zeile mal die Determinante der Restmatrix ohne seine Zeile und Spalte, mit abwechselndem Vorzeichen nach dem Schachbrettmuster $+\,-\,+$. Lohnt sich bei Zeilen mit vielen Nullen.
Was die Determinante bedeutet
- $\det(A) \neq 0$: $A$ ist invertierbar, das Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ hat genau eine Lösung – siehe inverse Matrix.
- $\det(A) = 0$: Die Zeilen (bzw. Spalten) sind linear abhängig. Es gibt keine Inverse, das Gleichungssystem hat keine oder unendlich viele Lösungen.
- Geometrisch: Bei 2×2 ist $|\det(A)|$ der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Spaltenvektoren aufspannen; bei 3×3 das Volumen des Spats. $\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 12$ heißt: Das Parallelogramm aus $\binom{4}{0}$ und $\binom{1}{3}$ hat die Fläche 12.
Nützliche Regeln
$\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$, $\det(A^{T}) = \det(A)$, und eine Zeile mit lauter Nullen oder zwei gleiche Zeilen ergeben sofort $\det = 0$.
Die Determinante ist nicht 0: Die Matrix ist invertierbar, und jedes Gleichungssystem A·x = b hat genau eine Lösung.
Rechenweg
Determinante berechnen
Regel von Sarrus: Schreibe die ersten beiden Spalten noch einmal rechts neben die Matrix. Addiere die drei Produkte auf den Diagonalen von links oben nach rechts unten und ziehe die drei Produkte von rechts oben nach links unten ab.
\[\det(A) = 1 \cdot \left(-1\right) \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot 1\]\[\quad - 0 \cdot \left(-1\right) \cdot 2 - 1 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5\]\[= -23\]
Online üben
Stufe 1: 2×2-Matrizen
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Aufgabe 1
\(\det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\) \(= -4\)
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Aufgabe 2
\(\det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}\) \(= 11\)
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Aufgabe 3
\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\) \(= -19\)
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Aufgabe 4
\(\det\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\) \(= 20\)
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Aufgabe 5
\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}\) \(= 35\)
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Aufgabe 6
\(\det\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) \(= -1\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Determinanten berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
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Weiterlesen: Determinante bei Wikipedia