Determinante berechnen
Die Determinante ist eine einzige Zahl, die man einer quadratischen Matrix zuordnet. Sie verrät, ob die Matrix invertierbar ist, ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat – und um welchen Faktor die Matrix Flächen oder Volumen verändert.
2×2-Matrizen
Also das Produkt auf der Diagonale von links oben nach rechts unten, davon abgezogen das Produkt auf der anderen Diagonale. Beispiel: $\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 5 = 3 + 10 = 13$.
3×3-Matrizen: Regel von Sarrus
Hänge Spalte 1 und Spalte 2 rechts noch einmal an. Jetzt findest Du sechs schräge Linien mit je drei Zahlen: Die drei, die nach rechts unten fallen, liefern Produkte mit Plus, die drei, die nach rechts oben steigen, Produkte mit Minus.
Beispiel
Größere Matrizen
Sarrus gilt nur für 3×3. Für 4×4 und größer gibt es zwei Wege:
- Dreiecksform: Mit dem Gauß-Verfahren unter der Diagonalen Nullen erzeugen. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelemente – jeder Zeilentausch kehrt das Vorzeichen um, das Addieren eines Vielfachen einer Zeile ändert nichts.
- Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte (Laplace): Jedes Element der Zeile mal die Determinante der Restmatrix ohne seine Zeile und Spalte, mit abwechselndem Vorzeichen nach dem Schachbrettmuster $+\,-\,+$. Lohnt sich bei Zeilen mit vielen Nullen.
Was die Determinante bedeutet
- $\det(A) \neq 0$: $A$ ist invertierbar, das Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ hat genau eine Lösung – siehe inverse Matrix.
- $\det(A) = 0$: Die Zeilen (bzw. Spalten) sind linear abhängig. Es gibt keine Inverse, das Gleichungssystem hat keine oder unendlich viele Lösungen.
- Geometrisch: Bei 2×2 ist $|\det(A)|$ der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Spaltenvektoren aufspannen; bei 3×3 das Volumen des Spats. $\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 12$ heißt: Das Parallelogramm aus $\binom{4}{0}$ und $\binom{1}{3}$ hat die Fläche 12.
Nützliche Regeln
$\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$, $\det(A^{T}) = \det(A)$, und eine Zeile mit lauter Nullen oder zwei gleiche Zeilen ergeben sofort $\det = 0$.
Die Determinante ist nicht 0: Die Matrix ist invertierbar, und jedes Gleichungssystem A·x = b hat genau eine Lösung.
Rechenweg
Determinante berechnen
Bei einer 2×2-Matrix gilt: Hauptdiagonale mal minus Nebendiagonale mal.
\[\det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}\]\[= 3 \cdot 1 - \left(-2\right) \cdot 5 = 13\]
Online üben
Stufe 1: 2×2-Matrizen
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Aufgabe 1
\(\det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\) \(= -4\)
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Aufgabe 2
\(\det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}\) \(= 11\)
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Aufgabe 3
\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\) \(= -19\)
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Aufgabe 4
\(\det\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\) \(= 20\)
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Aufgabe 5
\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}\) \(= 35\)
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Aufgabe 6
\(\det\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) \(= -1\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Determinanten berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
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Weiterlesen: Determinante bei Wikipedia