Inverse Matrix berechnen
Die inverse Matrix $A^{-1}$ macht rückgängig, was $A$ bewirkt: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$ (Einheitsmatrix). Sie existiert genau dann, wenn die Determinante nicht 0 ist. Bei 2×2-Matrizen genügt eine Formel, bei größeren das Gauß-Jordan-Verfahren.
2×2: die Formel
Merkhilfe: $a$ und $d$ wechseln die Plätze, $b$ und $c$ bleiben, wo sie sind, ändern aber ihr Vorzeichen. Vor der Matrix steht der Kehrwert der Determinante.
Beispiel
$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, $\det(A) = 6 - 4 = 2$:
Probe: $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ -2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 & -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} \\ 4 - 4 & -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓
3×3 und größer: Gauß-Jordan-Verfahren
- Schreibe $A$ und rechts daneben die Einheitsmatrix $E$: $(A \mid E)$.
- Forme mit Zeilenumformungen (Vielfache addieren, Zeilen tauschen, Zeilen mit einer Zahl ≠ 0 malnehmen) so lange um, bis links $E$ steht.
- Was dann rechts steht, ist $A^{-1}$: $(E \mid A^{-1})$.
Beispiel
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Zieht man Zeile I von Zeile III ab, steht dort schon $(0\ 0\ 1)$. Dann Zeile III von Zeile II abziehen und zuletzt das Doppelte der neuen Zeile II von Zeile I:
Also $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Jeden einzelnen Schritt zeigt der Rechner unten.
Wann gibt es keine Inverse?
Ist $\det(A) = 0$, entsteht beim Gauß-Jordan-Verfahren links eine Nullzeile – die Einheitsmatrix lässt sich nicht erreichen. So eine Matrix heißt singulär. Beispiel: $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, denn $2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$; die zweite Zeile ist die Hälfte der ersten. Nicht-quadratische Matrizen haben nie eine Inverse.
Wozu braucht man die Inverse?
Ein Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ lässt sich damit in einem Schritt lösen: $\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}$. Das lohnt sich, wenn dasselbe $A$ mit vielen verschiedenen rechten Seiten vorkommt – etwa bei Übergangsmatrizen oder in der Wirtschaftsmathematik. Für ein einzelnes System ist das Gauß-Verfahren schneller.
Typische Fehler
- Vorzeichen in der 2×2-Formel: Nur $b$ und $c$ bekommen ein Minus, $a$ und $d$ tauschen ohne Vorzeichenwechsel.
- Elementweise Kehrwerte: $A^{-1}$ ist nicht die Matrix der Kehrwerte $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \ldots$
- Reihenfolge: $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ – die Faktoren tauschen.
Üben
Rechne auf Papier und vergleiche dann mit „Lösung zeigen“ – oder mach die Probe $A \cdot A^{-1} = E$.
Stufe 3: 3×3 mit det = ±1
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Aufgabe 1
\(A = \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix},\) \(A^{-1}\)\(A = \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix},\) \(A^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -4 & -2 & 1\end{pmatrix}\)
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Aufgabe 2
\(A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix},\) \(A^{-1}\)\(A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix},\) \(A^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & 3 & -2 \\ -3 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\)
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Aufgabe 3
\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -4 & 5\end{pmatrix},\) \(A^{-1}\)\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -4 & 5\end{pmatrix},\) \(A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
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Aufgabe 4
\(A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\) \(A^{-1}\)\(A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\) \(A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
Arbeitsblatt: Inverse Matrix bestimmen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Grundlagen zum Rechnen mit Matrizen: Matrizen. Determinante, Produkt, Rang und Gauß-Verfahren: Matrizenrechner.
Weiterlesen: Inverse Matrix bei Wikipedia