Potenzgesetze
Mit den Potenzgesetzen rechnest Du Produkte und Quotienten von Potenzen schnell zusammen, ohne alles auszuschreiben. Alle fünf Gesetze lassen sich durch einfaches Zählen von Faktoren begründen – Du musst sie also nicht blind auswendig lernen.
Die fünf Gesetze
Übersicht
| Gesetz | Formel |
|---|---|
| 1. Gleiche Basis malnehmen | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| 2. Gleiche Basis teilen | $a^m : a^n = a^{m-n}$ |
| 3. Potenz einer Potenz | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ |
| 4. Gleiche Exponenten malnehmen | $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ |
| 5. Gleiche Exponenten teilen | $a^n : b^n = (a : b)^n$ |
Warum gelten die Gesetze?
Eine Potenz zählt Faktoren: $a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a$. Damit erklärt sich jedes Gesetz an einem kleinen Beispiel.
Gesetz 5 funktioniert wie Gesetz 4, nur mit Brüchen: $\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b^3}$.
Was daraus folgt: Exponent 0 und negative Exponenten
Wendest Du Gesetz 2 auf gleiche Potenzen an, entsteht der Exponent 0. Da eine Zahl geteilt durch sich selbst 1 ergibt, muss $a^0 = 1$ sein (für $a \neq 0$):
Ist der Exponent im Nenner größer, wird die Differenz negativ. Gekürzt bleibt ein Bruch übrig:
Auch Brüche im Exponenten passen ins System: $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^1$, also ist $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Mehr dazu bei den Wurzelgesetzen.
Beispiele
Beispiel 1: mehrere Gesetze nacheinander
Bei $(2x^3)^2$ wird auch die Zahl 2 quadriert (Gesetz 4), der Exponent von $x$ verdoppelt sich (Gesetz 3).
Beispiel 2: zwei Variablen
Beispiel 3: Kopfrechnen mit Gesetz 4
$4^3 \cdot 25^3$ sieht schwer aus. Mit Gesetz 4 wird daraus $(4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000$.
Beispiel 4: Zehnerpotenzen
$(3 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^{-2}) = 12 \cdot 10^{5 + (-2)} = 12 \cdot 10^3 = 1{,}2 \cdot 10^4$. So rechnest Du in der Physik mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen.
Typische Fehler
- Basen malgenommen: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, nicht $4^7$. Die Basis bleibt gleich, nur die Exponenten werden addiert.
- Exponenten bei Gesetz 3 addiert: $(x^2)^5 = x^{10}$, nicht $x^7$.
- Verschiedene Basis und verschiedener Exponent: Für $a^2 \cdot b^3$ gibt es kein Gesetz – das bleibt so stehen.
- Summen: $x^3 + x^3 = 2x^3$ (gleichartige Terme addieren), aber $x^3 + x^2$ lässt sich nicht zusammenfassen.
- Minus vor der Potenz: $(-3)^2 = 9$, aber $-3^2 = -9$.
Online üben
Gib das Ergebnis ein, z. B. 6x^7 oder a^2*b^3. Brüche mit /.
Stufe 3: negative Exponenten, zwei Variablen
-
Aufgabe 1
\(\left(a^{5} b^{-1}\right)^{4}\)\(\left(a^{5} b^{-1}\right)^{4} = \frac{a^{20}}{b^{4}}\)
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Aufgabe 2
\(\frac{p^{5}}{p^{7}}\)\(\frac{p^{5}}{p^{7}} = \frac{1}{p^{2}}\)
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Aufgabe 3
\(\left(p^{3} q^{-1}\right)^{2}\)\(\left(p^{3} q^{-1}\right)^{2} = \frac{p^{6}}{q^{2}}\)
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Aufgabe 4
\(a^{4} \cdot a^{-1}\)\(a^{4} \cdot a^{-1} = a^{3}\)
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Aufgabe 5
\(\left(p^{4} q^{-1}\right)^{2}\)\(\left(p^{4} q^{-1}\right)^{2} = \frac{p^{8}}{q^{2}}\)
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Aufgabe 6
\(p^{4} q^{-3} \cdot p^{-2} q^{5}\)\(p^{4} q^{-3} \cdot p^{-2} q^{5} = p^{2} q^{2}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Potenzgesetze
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Grundlagen wie Quadratzahlen, Zehnerpotenzen und die wissenschaftliche Schreibweise findest Du bei Potenzen. Die Umkehrung des Potenzierens ist der Logarithmus – mit eigenen Logarithmusgesetzen.
Weiterlesen: Potenz (Mathematik) bei Wikipedia