Wurzelgesetze
Die Wurzelgesetze sagen, wie Du Wurzeln malnimmst, teilst und ineinander schachtelst. Im Grunde sind es die Potenzgesetze in anderer Schreibweise – denn eine Wurzel ist eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten.
Die Gesetze
Für alle Gesetze gilt: $a \geq 0$ und $b \geq 0$ (beim Teilen $b > 0$).
Übersicht
| Gesetz | Quadratwurzel | allgemein ($n$-te Wurzel) |
|---|---|---|
| Malnehmen | $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ | $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ |
| Teilen | $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$ | $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$ |
| Wurzel aus einer Potenz | $\sqrt{a^m} = \left(\sqrt{a}\right)^m$ | $\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{\frac{m}{n}}$ |
| Wurzel aus einer Wurzel | $\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{a}$ | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ |
Warum gelten sie?
Am Beispiel des Malnehmens: Quadrierst Du $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, kommt $\sqrt{a}^2 \cdot \sqrt{b}^2 = a \cdot b$ heraus. Die Zahl $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ist also eine nicht negative Zahl, deren Quadrat $a \cdot b$ ist – genau das ist $\sqrt{a \cdot b}$.
Noch kürzer geht es mit Potenzen. Schreibst Du $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, folgen alle Wurzelgesetze aus den Potenzgesetzen:
Beispiele
Beispiel 1: Kopfrechnen durch Zusammenfassen
Einzeln wären $\sqrt{12}$ und $\sqrt{3}$ krumme Zahlen – zusammen geht die Wurzel auf.
Beispiel 2: Zerlegen – teilweise Wurzelziehen
Rückwärts gelesen zerlegt das Gesetz eine Wurzel: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Das erledigt auch der Wurzelrechner.
Beispiel 3: mit Variablen ($x \geq 0$)
Beispiel 4: Wurzeln verschiedener Ordnung
$\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$ lässt sich nicht direkt unter eine Wurzel bringen. Als Potenzen geht es:
Wo die Gesetze nicht gelten
- Bei Summen und Differenzen: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$, aber $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$. Es gibt kein „Summengesetz“.
- Bei negativen Zahlen unter der Wurzel: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$ ist in den reellen Zahlen gar nicht definiert – auch wenn $\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = 6$ wäre.
- Bei verschiedenen Wurzelexponenten: $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ wird nicht zu einer gemeinsamen Wurzel – erst gleichnamig machen wie in Beispiel 4.
Online üben
Alle Variablen sind positiv. Gib das Ergebnis ein, z. B. 3x^2 oder als Potenz x^(3/4).
Stufe 3: Wurzeln als Potenzen
-
Aufgabe 1
\(\sqrt{a} \cdot \sqrt[5]{a}\)\(\sqrt{a} \cdot \sqrt[5]{a} = a^{\frac{7}{10}}\)
-
Aufgabe 2
\(\left(\sqrt[16]{y}\right)^{4}\)\(\left(\sqrt[16]{y}\right)^{4} = y^{\frac{1}{4}}\)
-
Aufgabe 3
\(\left(\sqrt[4]{b}\right)^{2}\)\(\left(\sqrt[4]{b}\right)^{2} = b^{\frac{1}{2}}\)
-
Aufgabe 4
\(\sqrt[4]{y}\)\(\sqrt[4]{y} = y^{\frac{1}{4}}\)
-
Aufgabe 5
\(\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x}\)\(\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x} = x\)
-
Aufgabe 6
\(\sqrt[3]{b^{4}}\)\(\sqrt[3]{b^{4}} = b^{\frac{4}{3}}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wurzelgesetze
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Was eine Wurzel ist, wie man Nenner rational macht und Wurzeln addiert, steht bei Wurzeln; Rechnen mit ganzen Wurzeltermen bei Wurzelterme.
Weiterlesen: Wurzel (Mathematik) bei Wikipedia