Lineare Approximation
Zoomt man nah genug an einen glatten Graphen heran, sieht er aus wie eine Gerade – nämlich wie seine Tangente. Diese Idee heißt lineare Approximation oder Linearisierung: In der Nähe einer bekannten Stelle rechnet man mit der einfachen Tangente statt mit der komplizierten Funktion.
Zoom-Lupe: Graph und Tangente
Am Rand des Ausschnitts (x = 7) weichen Graph und Tangente um 0,354 voneinander ab.
Je stärker Du hineinzoomst, desto gerader sieht der Graph aus – bis er nicht mehr von seiner Tangente zu unterscheiden ist. Genau das nutzt die lineare Näherung.
Lineare Näherung
Ist f an der Stelle $x_0$ differenzierbar, gilt für $x$ nahe bei $x_0$:
Die rechte Seite ist die Tangente an der Stelle $x_0$. Man braucht nur den Funktionswert und die Ableitung an einer Stelle, an der beide leicht zu berechnen sind.
Beispiel: √4,1 ohne Taschenrechner
Für $f(x) = \sqrt{x}$ ist $x_0 = 4$ bequem: $f(4) = 2$ und $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, also $f'(4) = \frac{1}{4}$. Mit $h = 0{,}1$:
Der genaue Wert ist $2{,}02485\ldots$ – die Näherung liegt nur etwa 0,00015 daneben.
Bekannte Näherungen für kleine x
Um $x_0 = 0$ herum ergeben sich einige Faustformeln, die in Physik und Technik ständig benutzt werden. Winkel immer im Bogenmaß:
| Funktion | Näherung für kleine x | Probe mit x = 0,1 |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $\approx x$ | $\sin 0{,}1 = 0{,}09983\ldots$ |
| $\tan x$ | $\approx x$ | $\tan 0{,}1 = 0{,}10033\ldots$ |
| $\cos x$ | $\approx 1$ | $\cos 0{,}1 = 0{,}99500\ldots$ |
| $e^x$ | $\approx 1 + x$ | $e^{0{,}1} = 1{,}10517\ldots$ |
| $\ln(1 + x)$ | $\approx x$ | $\ln 1{,}1 = 0{,}09531\ldots$ |
| $\sqrt{1 + x}$ | $\approx 1 + \frac{x}{2}$ | $\sqrt{1{,}1} = 1{,}04881\ldots$ |
| $(1 + x)^n$ | $\approx 1 + n \cdot x$ | $1{,}1^3 = 1{,}331$ statt $1{,}3$ |
| $\frac{1}{1 + x}$ | $\approx 1 - x$ | $\frac{1}{1{,}1} = 0{,}90909\ldots$ |
Die Kleinwinkelnäherung $\sin x \approx x$ steckt zum Beispiel in der bekannten Formel für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels. Und $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ erklärt, warum sich kleine Zinssätze über wenige Jahre fast einfach addieren: 2 % Zinsen über 10 Jahre ergeben $1{,}02^{10} \approx 1{,}219$, also knapp 22 % statt 20 %.
Wie gut ist die Näherung?
Der Fehler wächst ungefähr mit dem Quadrat des Abstands:
Halbiert man den Abstand h, schrumpft der Fehler auf etwa ein Viertel. Wie schnell die Näherung schlechter wird, hängt von der Krümmung ab: Bei großem $|f''(x_0)|$ biegt sich der Graph stark von der Tangente weg. Das Vorzeichen verrät die Richtung – bei einem linksgekrümmten Graphen ($f'' > 0$) liegt der Graph über der Tangente, die Näherung ist dann zu klein. Bei $\sqrt{x}$ ist es umgekehrt: Der Graph ist rechtsgekrümmt, $2{,}025$ ist etwas zu groß. Die Formel ist der erste Schritt zum Taylorpolynom, das zusätzlich die Krümmung berücksichtigt.
Änderungen abschätzen: das Differential
Schreibt man $\Delta x = h$ für eine kleine Änderung von x, wird aus der Näherung eine Aussage über die Änderung von y:
Beispiel: Wie viel mehr Luft passt in den Ballon?
Ein kugelförmiger Ballon mit $r = 10$ cm wird um 1 mm größer. Mit $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ und $V'(r) = 4\pi r^2$ ist
Genau sind es $\frac{4}{3}\pi\,(10{,}1^3 - 10^3) \approx 126{,}9\ \text{cm}^3$. Anschaulich ist $4\pi r^2$ die Kugeloberfläche – eine dünne Schicht mit der Dicke $\Delta r$ hat ungefähr das Volumen Oberfläche mal Dicke.
Fehlerfortpflanzung bei Messungen
Jede Messung ist ungenau. Wird mit dem Messwert weitergerechnet, überträgt sich der Fehler: Bei einem Messfehler $\Delta x$ ist der Fehler des Ergebnisses ungefähr $\Delta y \approx |f'(x_0)| \cdot \Delta x$.
Beispiel: Kreisfläche
Der Radius eines Kreises wird mit $r = 5\ \text{cm} \pm 0{,}1\ \text{cm}$ gemessen. Mit $A = \pi r^2$ und $A'(r) = 2\pi r$ ist $\Delta A \approx 2\pi \cdot 5 \cdot 0{,}1 = \pi \approx 3{,}1\ \text{cm}^2$, also $A \approx 78{,}5\ \text{cm}^2 \pm 3{,}1\ \text{cm}^2$.
Relativ betrachtet: Der Radius ist auf 2 % genau, die Fläche nur auf 4 %. Allgemein gilt: Bei einer Potenz $x^n$ wird der relative Fehler etwa n-mal so groß. Wer ein Volumen ($r^3$) auf 1 % genau kennen will, muss den Radius auf etwa ein Drittel Prozent genau messen.
Wo die Idee noch steckt
Das Newton-Verfahren ersetzt die Funktion in jedem Schritt durch ihre Tangente und nimmt deren Nullstelle als neue Näherung. Und die Ableitung selbst lässt sich so verstehen: $f'(x_0)$ ist genau die Steigung derjenigen Geraden, die den Graphen in der Nähe von $x_0$ am besten annähert. Wie man Tangenten aufstellt, zeigt der Tangenten-Rechner.
Typische Fehler
- x statt h eingesetzt: In $f'(x_0) \cdot (x - x_0)$ steht der Abstand, nicht die Stelle selbst.
- Zu weit weg genähert: Die Näherung gilt nur in der Nähe von $x_0$ – wähle $x_0$ möglichst dicht an der gesuchten Stelle.
- Gradmaß bei sin x ≈ x: Die Faustformeln für Winkelfunktionen gelten nur im Bogenmaß.
- Vorzeichen beim Messfehler: Für die Fehlerabschätzung zählt der Betrag $|f'(x_0)|$.
Online üben
Runde auf vier Nachkommastellen, wenn das Ergebnis keine abbrechende Dezimalzahl ist.
Stufe 1: mit der Tangente nähern
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Aufgabe 1
f(x) = 1/x. Nähere f(10,2) mit der Tangente bei x₀ = 10.f(10) = 0,1, f′(10) = −1/100: ≈ 0,1 − 0,2/100 = 0,098
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Aufgabe 2
f(x) = 1/x. Nähere f(1,1) mit der Tangente bei x₀ = 1.f(1) = 1, f′(1) = −1/1: ≈ 1 − 0,1/1 = 0,9
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Aufgabe 3
f(x) = 1/x. Nähere f(5,3) mit der Tangente bei x₀ = 5.f(5) = 0,2, f′(5) = −1/25: ≈ 0,2 − 0,3/25 = 0,188
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Aufgabe 4
f(x) = x². Nähere f(6,8) mit der Tangente an der Stelle x₀ = 7.f(7) = 49, f′(7) = 14: f(6,8) ≈ 49 + 14 · -0,2 = 46,2
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Aufgabe 5
f(x) = x². Nähere f(3,8) mit der Tangente an der Stelle x₀ = 4.f(4) = 16, f′(4) = 8: f(3,8) ≈ 16 + 8 · -0,2 = 14,4
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Aufgabe 6
f(x) = x³. Berechne mit der linearen Näherung bei x₀ = 5 einen Näherungswert für f(5,2).f(5) = 125, f′(5) = 75: ≈ 125 + 75 · 0,2 = 140
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Lineare Approximation und Fehlerrechnung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Mehr zur Ableitung als Steigung: Ableitung. Änderungsraten in Sachaufgaben: Rekonstruktion von Beständen.
Weiterlesen: Linearisierung, Taylor-Formel bei Wikipedia