Regelmäßige Vielecke
Bienenwaben sind Sechsecke, Stoppschilder Achtecke, Fußbälle bestehen aus Fünf- und Sechsecken. Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß – deshalb lässt sich fast alles an ihnen aus nur zwei Angaben berechnen.
Was heißt regelmäßig?
Ein Vieleck (n-Eck) heißt regelmäßig, wenn alle n Seiten gleich lang und alle n Innenwinkel gleich groß sind. Beides ist nötig: Eine Raute hat gleich lange Seiten, ein Rechteck gleich große Winkel – regelmäßig ist von den Vierecken nur das Quadrat. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Umkreis und einen Inkreis mit demselben Mittelpunkt M.
Die Winkel
Winkel im regelmäßigen n-Eck
μ ist der Mittelpunktswinkel zwischen zwei Radien zu benachbarten Ecken, α der Innenwinkel an einer Ecke.
Die Innenwinkelsumme gilt für jedes n-Eck, auch für unregelmäßige: Von einer Ecke aus lässt es sich in $n - 2$ Dreiecke zerlegen, und jedes hat die Winkelsumme 180°.
| n | Name | μ | α | Winkelsumme |
|---|---|---|---|---|
| 3 | gleichseitiges Dreieck | 120° | 60° | 180° |
| 4 | Quadrat | 90° | 90° | 360° |
| 5 | Fünfeck | 72° | 108° | 540° |
| 6 | Sechseck | 60° | 120° | 720° |
| 8 | Achteck | 45° | 135° | 1080° |
| 10 | Zehneck | 36° | 144° | 1440° |
| 12 | Zwölfeck | 30° | 150° | 1800° |
Seiten, Radien und Flächeninhalt
Verbindet man M mit zwei benachbarten Ecken, entsteht ein gleichschenkliges Bestimmungsdreieck mit den Schenkeln r (Umkreisradius), der Grundseite a und der Höhe ρ (Inkreisradius). Die Höhe halbiert den Winkel μ. Im halben Dreieck gilt deshalb:
Den Flächeninhalt kann man auch direkt aus r berechnen: $A = \frac{n}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\mu$ – das ist die Flächenformel mit dem Sinus für n Dreiecke.
Das Sechseck – ganz ohne Trigonometrie
Beim Sechseck ist $\mu = 60^\circ$. Die sechs Bestimmungsdreiecke sind deshalb gleichseitig, und es gilt r = a. Mit der Höhe des gleichseitigen Dreiecks $\rho = \frac{a}{2}\sqrt{3}$ folgt:
Beispiel
Eine sechseckige Bodenfliese hat die Seitenlänge 10 cm. Ihr Flächeninhalt ist $\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 100 \approx 259{,}8$ cm², der Umfang 60 cm, und sie passt in einen Kreis mit dem Radius 10 cm.
Konstruieren mit Zirkel und Lineal
- Sechseck: Kreis zeichnen und den Radius sechsmal auf dem Kreis abtragen – die Punkte sind die Ecken.
- Gleichseitiges Dreieck und Zwölfeck: Vom Sechseck jede zweite Ecke verbinden ergibt das Dreieck. Halbiert man die Bögen, erhält man das Zwölfeck.
- Quadrat und Achteck: Zwei senkrechte Durchmesser liefern das Quadrat; die Winkelhalbierenden zwischen ihnen schneiden den Kreis in den übrigen Ecken des Achtecks.
- Fünfeck: Es ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar, aber aufwendiger. Praktisch trägt man den Mittelpunktswinkel 72° mit dem Geodreieck ab.
Vom Vieleck zum Kreis
Je mehr Ecken ein regelmäßiges Vieleck hat, desto mehr gleicht es seinem Umkreis. Archimedes hat so schon vor über 2000 Jahren π eingegrenzt: Der Umfang eines eingeschriebenen 96-Ecks ist etwas kleiner als der Kreisumfang $2\pi r$, der eines umbeschriebenen 96-Ecks etwas größer. Daraus folgt $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$. Probiere es im Rechner aus: Mit $r = 1$ und $n = 1000$ ist der Umfang schon fast genau $2\pi \approx 6{,}2832$.
Typische Fehler
- Mittelpunktswinkel und Innenwinkel verwechselt: Beim Sechseck ist μ = 60°, der Innenwinkel aber 120°.
- Halben Winkel vergessen: In $a = 2r \cdot \sin\frac{180^\circ}{n}$ steht der halbe Mittelpunktswinkel.
- „Gleich lange Seiten reichen“: Eine Raute ist kein regelmäßiges Viereck.
Im Lehrplan: Die Innenwinkelsumme ist meist in Klasse 7 dran. Regelmäßige Vielecke mit Umkreis, Inkreis und Flächeninhalt werden in Klasse 9 oder 10 mit Pythagoras und Trigonometrie berechnet, oft auch als Weg zur Kreiszahl π.
Online üben
Winkel in Grad, Längen und Flächen auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Stufe 1: Winkel
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Aufgabe 1
Mittelpunktswinkel des regelmäßigen \(3\text{-Ecks}\)°\(\mu = 360^\circ : 3 = 120^\circ\)
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Aufgabe 2
Ein regelmäßiges Vieleck hat Innenwinkel \(140^\circ.\) Wie viele Ecken?Ecken\(n = 360^\circ : 40^\circ = 9\)
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Aufgabe 3
Ein regelmäßiges Vieleck hat Innenwinkel \(165^\circ.\) Wie viele Ecken?Ecken\(n = 360^\circ : 15^\circ = 24\)
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Aufgabe 4
Innenwinkel des regelmäßigen \(18\text{-Ecks}\)°\(\alpha = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\)
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Aufgabe 5
Mittelpunktswinkel des regelmäßigen \(12\text{-Ecks}\)°\(\mu = 360^\circ : 12 = 30^\circ\)
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Aufgabe 6
Ein regelmäßiges Vieleck hat Innenwinkel \(120^\circ.\) Wie viele Ecken?Ecken\(n = 360^\circ : 60^\circ = 6\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Regelmäßige Vielecke
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–9.
Alle ebenen Figuren im Überblick: ebene Figuren. Winkel messen und zeichnen: Winkel. Lückenlos legen: Parkette. Kreisumfang und Kreisfläche: Kreis.
Weiterlesen: Regelmäßiges Polygon bei Wikipedia