Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen
Welches Rechteck hat bei gleichem Umfang die größte Fläche? Bei welchem Preis verdient ein Kino am meisten? Solche Fragen nach dem Besten führen oft auf eine Parabel – und deren höchster oder tiefster Punkt ist der Scheitelpunkt. Ableitungen braucht man dafür nicht.
Das Vorgehen in sechs Schritten
- Zielgröße benennen: Was soll möglichst groß oder klein werden (Fläche, Erlös, Produkt …)?
- Variable wählen: Eine Größe, die man verändern kann, heißt x.
- Nebenbedingung nutzen: Die übrigen Größen werden mit Hilfe der festen Angaben durch x ausgedrückt.
- Zielfunktion aufstellen: Die Zielgröße als Term in x, z. B. $A(x) = x \cdot (18 - x)$.
- Scheitelpunkt bestimmen: mit der quadratischen Ergänzung oder mit $x_S = -\frac{b}{2a}$.
- Prüfen und antworten: Liegt $x_S$ im erlaubten Bereich? Dann im Antwortsatz alle gesuchten Größen nennen.
Merke
Für $f(x) = a(x - d)^2 + e$ gilt: Ist $a < 0$, hat f bei $x = d$ das Maximum e. Ist $a > 0$, ist e das Minimum.
Beispiel 1: Rechteck mit festem Umfang
Ein Rechteck soll den Umfang 36 cm haben. Wie groß kann seine Fläche höchstens werden?
Ist eine Seite x lang, bleibt für die andere $18 - x$, denn zwei Seiten zusammen sind der halbe Umfang. Also
Der Scheitel liegt bei $S(9 \mid 81)$: Die größte Fläche hat das Quadrat mit der Seite 9 cm, nämlich 81 cm². Das gilt bei jedem Umfang – von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche.
Beispiel 2: Zaun an einer Mauer
Beispiel
Mit 40 m Zaun soll an einer langen Mauer ein rechteckiges Gehege abgesteckt werden. Die Mauer ersetzt eine Seite.
Die beiden Seiten senkrecht zur Mauer seien x lang. Für die Seite parallel zur Mauer bleiben $40 - 2x$ Meter:
Das größte Gehege ist 10 m tief und 20 m breit und hat 200 m². Hier ist es also gerade kein Quadrat. Erlaubt sind nur Werte $0 < x < 20$, und $x = 10$ liegt darin.
Beispiel 3: Preis und Erlös
Ein Kino verkauft Karten für 8 € an 300 Besucher pro Vorstellung. Eine Umfrage ergibt: Jede Preiserhöhung um 0,50 € kostet 10 Besucher. Mit x Erhöhungsschritten ist der Preis $8 + 0{,}5x$ und die Besucherzahl $300 - 10x$:
Nach 7 Schritten, also bei einem Preis von 11,50 € und 230 Besuchern, ist der Erlös mit 2645 € am größten.
Wenn der Scheitel außerhalb liegt
Manchmal sind nur bestimmte x erlaubt, etwa weil eine Seite höchstens 4 m lang sein darf. Liegt der Scheitel dann außerhalb dieses Bereichs, wird das Extremum am Rand angenommen. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist es der Randwert, der näher am Scheitel liegt. Deshalb gehört der Definitionsbereich in jede Lösung.
Typische Fehler
- Nebenbedingung falsch: Beim Rechteck ist $a + b$ der halbe Umfang, nicht der ganze.
- Nur x angegeben: Gefragt sind meist die Maße und der größte Wert – also alles nennen.
- Vorzeichen bei der Ergänzung: Bei $-2x^2 + 40x$ zuerst $-2$ ausklammern: $-2(x^2 - 20x)$.
- Definitionsbereich vergessen: Negative Längen oder mehr Zaun, als vorhanden ist, sind keine Lösung.
Im Lehrplan: Extremwertaufgaben ohne Differentialrechnung gehören in Klasse 9 oder 10 zu den Anwendungen quadratischer Funktionen, an der bayerischen Realschule etwa als Extremwerte von Flächeninhalten. In der Oberstufe werden sie mit Ableitungen auch für andere Funktionen gelöst.
Online üben
Gib den gesuchten Wert als Zahl ein, Einheiten darfst Du weglassen.
Stufe 2: Rechteck, Zaun und Zahlen
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Aufgabe 1
Zwei Zahlen haben die Summe 58. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?P(x) = x · (58 − x), Scheitel bei x = 29: P = 841.
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Aufgabe 2
Zwei Zahlen haben die Summe 54. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?P(x) = x · (54 − x), Scheitel bei x = 27: P = 729.
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Aufgabe 3
Zwei Zahlen haben die Summe 60. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?P(x) = x · (60 − x), Scheitel bei x = 30: P = 900.
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Aufgabe 4
Zwei Zahlen haben die Summe 28. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?P(x) = x · (28 − x), Scheitel bei x = 14: P = 196.
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Aufgabe 5
Ein Rechteck hat den Umfang 32 cm. Wie groß ist der größtmögliche Flächeninhalt?cm²A(x) = x · (16 − x), Scheitel bei x = 8: Quadrat mit A = 64 cm².
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Aufgabe 6
Zwei Zahlen haben die Summe 52. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?P(x) = x · (52 − x), Scheitel bei x = 26: P = 676.
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Scheitelpunktform und Parabeln: quadratische Funktionen und Scheitelpunkt-Rechner. Ergänzen Schritt für Schritt: quadratische Ergänzung. Mit Ableitung in der Oberstufe: Extremwertaufgaben.
Weiterlesen: Extremwertproblem bei Wikipedia