Abbildungen mit Vektoren
Verschieben, drehen, spiegeln und strecken kann man mit Geodreieck und Zirkel – oder man rechnet die Bildpunkte im Koordinatensystem einfach aus. Der Schlüssel dafür sind Vektoren: Pfeile, die man mit zwei Zahlen beschreibt.
Vektoren im Koordinatensystem
Ein Vektor gibt an, wie weit man nach rechts (erste Koordinate) und nach oben (zweite Koordinate) gehen muss. Negative Werte bedeuten nach links bzw. nach unten. Den Vektor von A nach B erhältst Du, indem Du die Koordinaten des Anfangspunkts von denen des Endpunkts abziehst:
Alle Pfeile mit derselben Richtung und Länge gehören zum selben Vektor – egal, wo sie anfangen. Genau deshalb eignen sich Vektoren so gut für Verschiebungen.
Verschiebung
Verschiebung um den Vektor $\vec{v}$
Jeder Punkt der Figur wird um denselben Vektor verschoben. Die Bildfigur ist deckungsgleich und hat dieselbe Ausrichtung.
Punktspiegelung
Bei der Spiegelung am Punkt Z ist Z die Mitte zwischen P und seinem Bildpunkt. Man geht also von Z aus den Vektor $\overrightarrow{PZ}$ noch einmal weiter. Kürzer:
Eine Punktspiegelung ist dasselbe wie eine Drehung um Z um 180°.
Achsenspiegelung
| Spiegelachse | Bildpunkt von $P(x \mid y)$ |
|---|---|
| x-Achse | $P'(x \mid -y)$ |
| y-Achse | $P'(-x \mid y)$ |
| Gerade $y = x$ | $P'(y \mid x)$ |
| Gerade $y = -x$ | $P'(-y \mid -x)$ |
| senkrechte Gerade $x = c$ | $P'(2c - x \mid y)$ |
| waagerechte Gerade $y = c$ | $P'(x \mid 2c - y)$ |
Drehung um einen Punkt
Für Drehungen um 90°, 180° und 270° brauchst Du nur Koordinaten zu tauschen und Vorzeichen zu wechseln. Gedreht wird immer der Vektor vom Drehzentrum Z zum Punkt:
Drehung von $\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ gegen den Uhrzeigersinn
Beispiel
Drehe $P(5 \mid 2)$ um $Z(1 \mid 1)$ um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
$\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ wird zu $\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$, also $P' = (1 - 1 \mid 1 + 4) = P'(0 \mid 5)$. Probe: Beide Vektoren haben die Länge $\sqrt{17}$ und stehen senkrecht aufeinander, denn $4 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 0$.
Für beliebige Winkel φ gilt die Drehmatrix. Für die Drehung um den Ursprung lautet sie
Dreht man im Uhrzeigersinn, setzt man $-\varphi$ ein. Um einen anderen Punkt Z dreht man wieder den Vektor $\overrightarrow{ZP}$ und addiert danach Z.
Zentrische Streckung
Streckung mit Zentrum Z und Faktor k
Bei $|k| > 1$ wird die Figur größer, bei $|k| < 1$ kleiner. Ist k negativ, liegt das Bild auf der anderen Seite von Z. Alle Längen werden mit $|k|$ multipliziert, Flächeninhalte mit $k^2$.
Beispiel: $Z(1 \mid 1)$, $P(3 \mid 2)$, $k = 3$. Dann ist $\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{ZP'} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $P'(7 \mid 4)$. Mehr zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal findest Du bei der zentrischen Streckung.
Ausblick: Abbildungsmatrizen
Drehungen um den Ursprung, Spiegelungen an Ursprungsgeraden und Streckungen mit Zentrum O lassen sich alle als Matrix schreiben: Man multipliziert die Matrix mit dem Ortsvektor des Punktes. Die Spiegelung an der x-Achse hat die Matrix $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, die an $y = x$ die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, die Streckung $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$. Nur die Verschiebung fällt heraus – sie braucht die Addition eines Vektors. Wie man mit Matrizen rechnet, steht bei den Matrizen.
Typische Fehler
- Vektor falsch herum: $\overrightarrow{AB}$ ist „Ende minus Anfang“, also $B - A$, nicht $A - B$.
- Um den Ursprung statt um Z gedreht: Bei einem anderen Drehzentrum erst $\overrightarrow{ZP}$ bilden, drehen und dann Z wieder addieren.
- Drehrichtung verwechselt: Positive Winkel drehen gegen den Uhrzeigersinn. $(a \mid b) \mapsto (-b \mid a)$ ist die Linksdrehung.
- Flächen mit k statt k² gestreckt: Bei $k = 3$ wird die Fläche neunmal so groß.
Im Lehrplan: An der bayerischen Realschule (Wahlpflichtfächergruppe I) werden Verschiebungen mit Vektoren in Klasse 7, Drehungen in Klasse 8 und die zentrische Streckung mit Vektoren in Klasse 9 behandelt. Andere Länder führen Vektoren in Klasse 9/10 (z. B. Baden-Württemberg) oder in der Oberstufe ein; dort werden Abbildungen teils auch mit Matrizen beschrieben.
Online üben
Gib Bildpunkte und Vektoren als Koordinaten ein, z. B. (5|3).
Stufe 3: Drehung und zentrische Streckung
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Aufgabe 1
\(\text{Drehe } P(3 \mid 3) \text{ um } Z(2 \mid -3) \text{ um } 180^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn\(\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix},\) \(P'(1 \mid -9)\)
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Aufgabe 2
\(\text{Drehe } P(1 \mid 5) \text{ um } Z(-1 \mid 2) \text{ um } 180^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn\(\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix},\) \(P'(-3 \mid -1)\)
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Aufgabe 3
\(\text{Drehe } P(2 \mid -1) \text{ um } Z(-3 \mid 1) \text{ um } 180^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn\(\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix},\) \(P'(-8 \mid 3)\)
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Aufgabe 4
\(\text{Drehe } P(3 \mid 2) \text{ um } Z(-3 \mid 3) \text{ um } 270^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn\(\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix},\) \(P'(-4 \mid -3)\)
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Aufgabe 5
\(\text{Drehe } P(-3 \mid -3) \text{ um } Z(1 \mid -2) \text{ um } 180^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn\(\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix},\) \(P'(5 \mid -1)\)
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Aufgabe 6
\(\text{Drehe } P(6 \mid 4) \text{ um } Z(1 \mid -2) \text{ um } 270^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn\(\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix},\) \(P'(7 \mid -7)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Abbildungen mit Vektoren
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–10.
Spiegeln, verschieben und drehen im Kästchenraster ohne Koordinaten: Symmetrie und Abbildungen. Vektoren in der Oberstufe: Rechnen mit Vektoren. Grundlagen zu Punkten und Achsen: Koordinatensystem.
Weiterlesen: Parallelverschiebung, Drehmatrix bei Wikipedia