Bandornamente, Parkette und Pentominos
Muster gibt es überall: als Bordüre auf Tapeten, als Fliesen im Bad, als Pflaster auf dem Schulhof. Mathematisch steckt dahinter immer dieselbe Frage – nach welcher Regel wiederholt sich eine Figur, und passt sie lückenlos?
Bandornamente
Ein Bandornament ist ein Streifen, in dem sich eine Grundfigur immer wieder wiederholt. Wie sie sich wiederholt, bestimmt die Regel. Die einfachsten vier Regeln sind:
Um die Regel zu finden, vergleichst Du das erste Feld mit dem zweiten: Sieht es gleich aus, wurde nur verschoben. Ist es seitenverkehrt, wurde an einer senkrechten Achse gespiegelt. Steht es auf dem Kopf, wurde an der waagerechten Linie gespiegelt oder – wenn es zugleich seitenverkehrt ist – um 180° gedreht. Im Baukasten kannst Du alle Regeln mit verschiedenen Grundfiguren ausprobieren und anschließend selbst Muster fortsetzen.
Bandornament-Baukasten
Parkette
Ein Parkett bedeckt eine Fläche mit Kacheln, ohne Lücken und ohne Überlappungen. Ob eine Form dafür taugt, entscheidet sich an den Ecken: Alle Winkel, die an einer Ecke zusammenstoßen, müssen zusammen genau einen Vollwinkel ergeben.
Merke
An jeder Ecke eines Parketts ist die Winkelsumme 360°. Aus nur einer Sorte regelmäßiger Vielecke gibt es deshalb genau drei Parkette: aus gleichseitigen Dreiecken (6 · 60°), aus Quadraten (4 · 90°) und aus regelmäßigen Sechsecken (3 · 120°).
Beim regelmäßigen Fünfeck geht es nicht auf: Drei Fünfecke lassen eine Lücke von 36°, für vier ist kein Platz. Mischt man zwei Sorten, gibt es weitere schöne Parkette, zum Beispiel aus Achtecken und Quadraten oder aus Dreiecken und Sechsecken. Übrigens: Mit Kopien eines beliebigen Dreiecks oder Vierecks lässt sich immer ein Parkett legen – die Winkelsumme 180° bzw. 360° sorgt dafür.
Pentominos
Ein Pentomino besteht aus fünf gleich großen Quadraten, die mit ganzen Seiten aneinanderliegen. Es gibt genau zwölf verschiedene – gedrehte oder gespiegelte zählen nicht extra. Sie werden oft nach Buchstaben benannt, denen sie ähneln.
Alle Pentominos haben denselben Flächeninhalt von 5 Kästchen, aber nicht alle denselben Umfang: Elf haben den Umfang 12 Kästchenlängen, nur das P-Pentomino kommt mit 10 aus, weil bei ihm vier Quadrate einen Block bilden. Zusammen bedecken die zwölf Teile 60 Kästchen – genug für Rechtecke aus 6 × 10, 5 × 12, 4 × 15 oder 3 × 20 Kästchen. Solche Puzzles sind knifflig, für das 6×10-Rechteck gibt es aber über 2000 Lösungen.
Typische Fehler
- Spiegeln und Drehen verwechselt: Eine Drehung um 180° stellt die Figur auf den Kopf und macht sie seitenverkehrt. Eine Spiegelung an der waagerechten Linie stellt sie nur auf den Kopf.
- Nur ein Feld verglichen: Prüfe die Regel an mindestens drei Feldern – manche Muster wechseln erst im dritten Feld.
- Pentominos doppelt gezählt: Eine gedrehte Form ist kein neues Pentomino.
Im Lehrplan: Muster und Strukturen sind seit 2022 eine eigene Leitidee in den KMK-Bildungsstandards für die Grundschule. Bandornamente und Parkette stehen zum Beispiel im bayerischen Grundschullehrplan für Klasse 3/4, Pentominos und Parkette werden vielerorts in Klasse 4 bis 6 im Zusammenhang mit Symmetrie und Flächeninhalt behandelt.
Online üben
Klicke „ja“ oder „nein“ an oder gib die Zahl ein.
Stufe 2: Winkel an einer Ecke
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Aufgabe 1
An einer Ecke liegen schon fünf gleichseitige Dreiecke. Welches regelmäßige Vieleck passt genau in die Lücke? Gib die Anzahl seiner Ecken an.EckenEs fehlen 360° − 300° = 60°: ein gleichseitiges Dreieck (3 Ecken).
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Aufgabe 2
Passen ein gleichseitiges Dreieck und zwei regelmäßige Zwölfecke lückenlos um eine Ecke?Die Winkel ergeben 60° + 150° + 150° = 360° – genau 360°, es passt.
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Aufgabe 3
Passen ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und ein regelmäßiges Sechseck lückenlos um eine Ecke?Die Winkel ergeben 90° + 120° + 60° = 270° – nicht 360°, es passt nicht.
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Aufgabe 4
Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen 15-Eck? (Tipp: Innenwinkelsumme (n − 2) · 180°)°(15 − 2) · 180° : 15 = 156°
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Aufgabe 5
An einer Ecke liegen schon ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und ein regelmäßiges Sechseck. Welches regelmäßige Vieleck passt genau in die Lücke? Gib die Anzahl seiner Ecken an.EckenEs fehlen 360° − 270° = 90°: ein Quadrat (4 Ecken).
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Aufgabe 6
Passen zwei regelmäßige Fünfecke und ein regelmäßiges Zehneck lückenlos um eine Ecke?Die Winkel ergeben 108° + 108° + 144° = 360° – genau 360°, es passt.
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Parkette, Pentominos und Muster
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 3–6.
Arbeitsblatt: Bandornamente fortsetzen
Zum Ausmalen: Bandornamente auf Kästchenpapier fortsetzen, mit Lösungsblatt. Klasse 2–5.
Achsen- und Punktsymmetrie, Spiegeln und Drehen im Raster: Symmetrie und Abbildungen. Winkel der regelmäßigen Vielecke: regelmäßige Vielecke. Muster mit Zahlen: Muster und Zahlenfolgen.
Weiterlesen: Parkettierung, Pentomino bei Wikipedia