Prinzip von Cavalieri
Schiebt man einen Stapel Münzen seitlich schief, sieht er ganz anders aus – aber es sind immer noch dieselben Münzen. Das Volumen hat sich also nicht verändert. Genau diese Idee steckt hinter dem Prinzip von Cavalieri, mit dem man sogar das Volumen der Kugel herleiten kann.
Prinzip von Cavalieri
Zwei Körper stehen auf derselben Ebene und sind gleich hoch. Wenn jede Ebene parallel zum Boden beide Körper in gleich großen Flächen schneidet, dann haben die beiden Körper dasselbe Volumen.
Die Schnittflächen müssen dabei nur gleich groß sein, nicht gleich geformt: Ein Kreis und ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt reichen. Benannt ist das Prinzip nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598–1647).
Schiefe Körper
Ein schiefes Prisma entsteht aus einem geraden, wenn man die Deckfläche seitlich verschiebt – wie den Münzstapel. In jeder Höhe ist die Schnittfläche weiterhin so groß wie die Grundfläche G. Deshalb gelten für schiefe Körper dieselben Formeln wie für gerade:
Wichtig ist nur: Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche, nicht die Länge der schrägen Kante. Ist die Kante s um den Winkel α gegen den Boden geneigt, gilt $h = s \cdot \sin\alpha$.
Beispiel
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche $G = 15\,\text{cm}^2$. Seine Seitenkanten sind 10 cm lang und um 60° geneigt.
Mit der Kantenlänge 10 cm statt der Höhe wären es 150 cm³ – deutlich zu viel.
In der Ebene gilt dasselbe: Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe haben denselben Flächeninhalt, egal wo die Spitze liegt. Jede waagerechte Linie schneidet sie in gleich langen Strecken.
Das Volumen der Kugel
Die wohl schönste Anwendung stammt schon von Archimedes: Man vergleicht eine Halbkugel mit dem Radius r mit einem Zylinder (Radius r, Höhe r), aus dem ein Kegel mit der Spitze nach unten herausgenommen wurde. Schiebe den Regler und vergleiche die Schnittflächen:
Schnittflächen vergleichen
t = 1,5 cm: Kreis π · (r² − t²) ≈ 21,21 cm², Ring π · r² − π · t² ≈ 21,21 cm²
Warum die Flächen gleich sind
- Halbkugel: In der Höhe t ist der Schnitt ein Kreis. Sein Radius $\rho$ folgt aus dem Satz des Pythagoras: $\rho^2 = r^2 - t^2$, also $A = \pi\,(r^2 - t^2)$.
- Zylinder ohne Kegel: In der Höhe t ist der Kegel genau t breit (Radius t), der Schnitt ist ein Ring: $A = \pi r^2 - \pi t^2$.
Beide Ausdrücke sind gleich – in jeder Höhe. Nach Cavalieri sind dann auch die Volumen gleich:
Typische Fehler
- Kante statt Höhe: Bei schiefen Körpern ist die Seitenkante länger als die Höhe. Erst $h = s \cdot \sin\alpha$ berechnen.
- Nur eine Höhe verglichen: Die Schnittflächen müssen in jeder Höhe gleich sein, nicht nur am Boden.
- ⅓ vergessen: Auch eine schiefe Pyramide hat nur ein Drittel des Volumens des passenden Prismas.
Online üben
Runde auf zwei Nachkommastellen, Einheiten darfst Du weglassen.
Stufe 2: Höhe aus Kante und Winkel
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Aufgabe 1
Die schräge Seitenkante eines Prismas ist s = 18 cm lang und um α = 80° gegen die Grundfläche geneigt. Wie hoch ist das Prisma?cmh = s · sin α = 18 · sin 80° ≈ 17,73 cm
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Aufgabe 2
Ein schiefer Kegel hat den Grundkreisradius r = 3 cm und die Höhe h = 12 cm. Volumen?cm³V = ⅓ · π · 3² · 12 ≈ 113,1 cm³
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Aufgabe 3
Ein schiefes Prisma hat G = 11 cm². Seine Seitenkante (s = 12 cm) ist um 30° geneigt. Berechne das Volumen.cm³h = 12 · sin 30° ≈ 6 cm, V = 11 · h ≈ 66 cm³
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Aufgabe 4
Ein schiefer Kegel hat den Grundkreisradius r = 4 cm und die Höhe h = 6 cm. Volumen?cm³V = ⅓ · π · 4² · 6 ≈ 100,53 cm³
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Aufgabe 5
Ein schiefes Prisma hat G = 37 cm². Seine Seitenkante (s = 14 cm) ist um 40° geneigt. Berechne das Volumen.cm³h = 14 · sin 40° ≈ 9 cm, V = 37 · h ≈ 332,96 cm³
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Aufgabe 6
Ein schiefes Prisma hat G = 8 cm². Seine Seitenkante (s = 8 cm) ist um 30° geneigt. Berechne das Volumen.cm³h = 8 · sin 30° ≈ 4 cm, V = 8 · h ≈ 32 cm³
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Cavalieri: schiefe Körper und Schnittflächen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Volumen und Oberfläche gerader Körper: Prisma, Pyramide und Kugel. In der Oberstufe wird dieselbe Idee zum Integral: Man summiert unendlich viele dünne Schichten – siehe Rotationskörper.
Weiterlesen: Prinzip von Cavalieri bei Wikipedia