Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Sinus
Für $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ braucht man die Höhe – und die ist oft nicht gegeben. Kennt man stattdessen zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen, liefert der Sinus die Fläche direkt.
Flächeninhaltsformel
Man nimmt immer zwei Seiten und den Winkel, den diese beiden Seiten einschließen.
Herleitung
Fällt man von der Ecke A das Lot auf die Seite a, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse b und dem Winkel γ. Dort gilt $\sin\gamma = \frac{h_a}{b}$, also $h_a = b \cdot \sin\gamma$. Eingesetzt in die bekannte Formel:
Beispiel
$a = 6$ cm, $b = 4{,}5$ cm, $\gamma = 50^\circ$:
Stumpfe Winkel und der größte Flächeninhalt
Die Formel gilt auch bei stumpfen Winkeln. Weil $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$ ist, haben die Dreiecke mit $\gamma = 50^\circ$ und $\gamma = 130^\circ$ (bei gleichen Seiten a und b) denselben Flächeninhalt. Am größten wird die Fläche bei $\gamma = 90^\circ$, denn dort ist $\sin\gamma = 1$ – dann sind a und b die Katheten und $A = \frac{1}{2}ab$.
Parallelogramm und regelmäßiges Vieleck
Eine Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei gleich große Dreiecke. Deshalb gilt mit den Seiten a, b und dem Winkel α zwischen ihnen:
Ein regelmäßiges n-Eck mit Umkreisradius r besteht aus n gleichschenkligen Dreiecken mit den Schenkeln r und dem Winkel $\frac{360^\circ}{n}$ an der Spitze. Also ist $A = \frac{n}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}$ – mehr dazu bei den regelmäßigen Vielecken.
Rückwärts: Seite oder Winkel gesucht
Ist die Fläche bekannt, stellt man die Formel um:
Beispiel: zwei mögliche Winkel
Ein Dreieck hat $A = 10$ cm², $a = 5$ cm und $b = 6$ cm. Dann ist $\sin\gamma = \frac{20}{30} \approx 0{,}667$, also $\gamma \approx 41{,}8^\circ$ – oder $\gamma \approx 180^\circ - 41{,}8^\circ = 138{,}2^\circ$. Beide Dreiecke gibt es, sie haben dieselbe Fläche. Der Taschenrechner zeigt mit $\sin^{-1}$ nur den spitzen Winkel.
Typische Fehler
- Falscher Winkel: Der Winkel muss zwischen den beiden verwendeten Seiten liegen. Zu a und b gehört γ, nicht α oder β.
- Taschenrechner im Bogenmaß: Steht der Rechner auf RAD, ist $\sin 50$ etwa −0,26. Für Gradangaben muss DEG eingestellt sein.
- Faktor ½ vergessen: Ohne ½ erhält man die Fläche des Parallelogramms, also das Doppelte.
- Zweite Lösung übersehen: Beim Winkel rückwärts kommt auch $180^\circ - \gamma$ in Frage.
Im Lehrplan: Die Flächenformel mit dem Sinus gehört in vielen Ländern zur Trigonometrie in Klasse 10, ausdrücklich genannt wird sie etwa in Mecklenburg-Vorpommern und als Flächeninhaltssatz in Sachsen-Anhalt. Sie wird oft zusammen mit dem Sinus- und Kosinussatz behandelt.
Online üben
Runde auf zwei Nachkommastellen, Winkel auf eine Nachkommastelle.
Stufe 2: Seite oder Winkel gesucht
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Aufgabe 1
\(A = 9{,}2\,\text{cm}^2,\) \(a = 6\,\text{cm},\) \(\gamma = 50^\circ:\) \(b = ?\)cm\(b = \frac{2A}{a \cdot \sin\gamma} = \frac{2 \cdot 9{,}2}{6 \cdot \sin 50^\circ} \approx 4\,\text{cm}\)
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Aufgabe 2
\(A = 11{,}5\,\text{cm}^2,\) \(a = 7\,\text{cm},\) \(\gamma = 55^\circ:\) \(b = ?\)cm\(b = \frac{2A}{a \cdot \sin\gamma}\) \(= \frac{2 \cdot 11{,}5}{7 \cdot \sin 55^\circ}\) \(\approx 4{,}01\,\text{cm}\)
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Aufgabe 3
\(A = 22{,}2\,\text{cm}^2,\) \(a = 7\,\text{cm},\) \(\gamma = 65^\circ:\) \(b = ?\)cm\(b = \frac{2A}{a \cdot \sin\gamma}\) \(= \frac{2 \cdot 22{,}2}{7 \cdot \sin 65^\circ}\) \(\approx 7\,\text{cm}\)
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Aufgabe 4
\(A = 10{,}6\,\text{cm}^2,\) \(a = 11\,\text{cm},\) \(\gamma = 40^\circ:\) \(b = ?\)cm\(b = \frac{2A}{a \cdot \sin\gamma}\) \(= \frac{2 \cdot 10{,}6}{11 \cdot \sin 40^\circ}\) \(\approx 3\,\text{cm}\)
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Aufgabe 5
\(A = 11{,}8\,\text{cm}^2,\) \(a = 3\,\text{cm},\) \(\gamma = 80^\circ:\) \(b = ?\)cm\(b = \frac{2A}{a \cdot \sin\gamma}\) \(= \frac{2 \cdot 11{,}8}{3 \cdot \sin 80^\circ}\) \(\approx 7{,}99\,\text{cm}\)
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Aufgabe 6
\(A = 11{,}5\,\text{cm}^2,\) \(a = 5\,\text{cm},\) \(\gamma = 35^\circ:\) \(b = ?\)cm\(b = \frac{2A}{a \cdot \sin\gamma}\) \(= \frac{2 \cdot 11{,}5}{5 \cdot \sin 35^\circ}\) \(\approx 8{,}02\,\text{cm}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Flächeninhalt mit dem Sinus
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck: Trigonometrie. Fehlende Seiten und Winkel im allgemeinen Dreieck: Sinussatz und Kosinussatz sowie der Dreiecksrechner. Fläche mit Grundseite und Höhe: Dreieck berechnen.
Weiterlesen: Dreiecksfläche bei Wikipedia