Goldener Schnitt
Teilt man eine Strecke so, dass sich das Ganze zum größeren Teil verhält wie der größere Teil zum kleineren, entsteht der goldene Schnitt. Hinter ihm steckt eine besondere Zahl, die im Fünfeck, in den Fibonacci-Zahlen und in manchen Sonnenblumen wieder auftaucht.
Definition
Eine Strecke der Länge L wird in den größeren Teil M (Major) und den kleineren Teil m (Minor) geteilt, sodass
Φ (sprich „Phi“) heißt goldene Zahl. Der Major ist etwa 61,8 % der ganzen Strecke, der Minor etwa 38,2 %.
Woher kommt die Zahl Φ?
Setzt man den kleineren Teil $m = 1$ und den größeren $M = x$, wird die Definition zu einer quadratischen Gleichung:
Mit der p-q-Formel ist $x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Nur die positive Lösung ist eine Länge: $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Aus $\Phi^2 = \Phi + 1$ folgt außerdem $\frac{1}{\Phi} = \Phi - 1 \approx 0{,}618$ – Kehrwert und Zahl haben dieselben Nachkommastellen.
Beispiel
Eine Strecke von 10 cm im goldenen Schnitt: $M = \frac{10}{\Phi} \approx 6{,}18\,\text{cm}$ und $m = 10 - 6{,}18 = 3{,}82\,\text{cm}$. Probe: $6{,}18 : 3{,}82 \approx 1{,}618$.
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
- Errichte in B die Senkrechte auf AB und trage darauf C mit $\overline{BC} = \frac{1}{2}\overline{AB}$ ab.
- Verbinde A mit C. Der Kreis um C durch B schneidet die Strecke AC in D.
- Der Kreis um A durch D schneidet AB im Punkt T. Dann teilt T die Strecke AB im goldenen Schnitt: $\overline{AT}$ ist der Major.
Warum? Mit $\overline{AB} = 1$ ist nach Pythagoras $\overline{AC} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$, also $\overline{AT} = \overline{AD} = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{\Phi}$.
Fibonacci-Zahlen
In der Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … ist jede Zahl die Summe der beiden vorigen. Teilt man eine Fibonacci-Zahl durch ihren Vorgänger, nähert sich der Quotient immer mehr Φ:
| Quotient | 5 : 3 | 8 : 5 | 13 : 8 | 21 : 13 | 34 : 21 | 55 : 34 | 89 : 55 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 1,6667 | 1,6 | 1,625 | 1,6154 | 1,6190 | 1,6176 | 1,6182 |
Die Werte springen abwechselnd über und unter Φ und kommen ihm dabei immer näher. In Sonnenblumen und Kiefernzapfen findet man tatsächlich oft Spiralen, deren Anzahlen benachbarte Fibonacci-Zahlen sind, etwa 34 und 55.
Fünfeck und Pentagramm
Im regelmäßigen Fünfeck ist jede Diagonale genau Φ-mal so lang wie eine Seite: $d = \Phi \cdot a$. Die Diagonalen bilden ein Pentagramm, und jede von ihnen wird von den anderen wieder im goldenen Schnitt geteilt. Mehr zum Fünfeck bei den regelmäßigen Vielecken.
Goldenes Rechteck – und ein paar Mythen
Ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis Φ stehen, heißt goldenes Rechteck. Schneidet man davon ein Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck übrig. Oft wird behauptet, der goldene Schnitt stecke in berühmten Bauwerken, Gemälden oder im menschlichen Körper. Vieles davon ist nachträglich hineingemessen – mit etwas gutem Willen findet man in fast jedem Bild ein Verhältnis um 1,6. Das DIN-A4-Blatt zum Beispiel ist kein goldenes Rechteck: Seine Seiten stehen im Verhältnis $\sqrt{2} \approx 1{,}414$. Mit dem Rechner kannst Du solche Behauptungen selbst prüfen.
Typische Fehler
- Durch den falschen Teil geteilt: Der Major ist die ganze Strecke geteilt durch Φ, nicht mal Φ.
- Zu früh gerundet: Mit 1,6 statt 1,618 weichen die Ergebnisse schon um mehr als 1 % ab.
- Minor mit Major verwechselt: Der Minor ist der kleinere Teil, etwa 38 % der Strecke.
Online üben
Runde auf zwei Nachkommastellen, bei Quotienten auf vier.
Stufe 2: rückwärts rechnen
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Aufgabe 1
Ein goldenes Rechteck ist 5 cm lang (lange Seite). Wie breit ist es?cmb = 5 : Φ ≈ 3,09 cm
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Aufgabe 2
Ein goldenes Rechteck ist 16 cm lang (lange Seite). Wie breit ist es?cmb = 16 : Φ ≈ 9,89 cm
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Aufgabe 3
Der kleinere Teil (Minor) ist 58 cm lang. Wie lang ist der größere Teil?cmM = 58 · Φ ≈ 93,85 cm
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Aufgabe 4
Ein goldenes Rechteck ist 24 cm lang (lange Seite). Wie breit ist es?cmb = 24 : Φ ≈ 14,83 cm
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Aufgabe 5
Ein goldenes Rechteck ist 19 cm lang (lange Seite). Wie breit ist es?cmb = 19 : Φ ≈ 11,74 cm
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Aufgabe 6
Ein goldenes Rechteck ist 3 cm lang (lange Seite). Wie breit ist es?cmb = 3 : Φ ≈ 1,85 cm
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Goldener Schnitt
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Mehr zu Folgen wie den Fibonacci-Zahlen: Folgen und Reihen. Verhältnisse von Strecken: Strahlensätze und zentrische Streckung.
Weiterlesen: Goldener Schnitt bei Wikipedia