Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel
Schneidet man einen Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen je nach Neigung vier verschiedene Kurven. Dieselben Kurven tauchen überall auf: als Planetenbahnen, in Scheinwerfern und Satellitenschüsseln oder als Flugbahn eines Balls.
- Liegt die Ebene waagerecht, entsteht ein Kreis.
- Ist sie leicht geneigt und schneidet nur einen Kegel ringsum, entsteht eine Ellipse.
- Läuft sie genau parallel zu einer Mantellinie, entsteht eine Parabel.
- Ist sie noch steiler und schneidet beide Kegel, entsteht eine Hyperbel mit zwei Ästen.
Kegelschnitte als Ortslinien
In der Ebene lassen sich alle vier Kurven über Abstände beschreiben – ganz ohne Kegel:
| Kurve | Alle Punkte P, für die gilt … |
|---|---|
| Kreis | Abstand von P zum Mittelpunkt M ist r |
| Ellipse | Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten $F_1, F_2$ ist konstant: $\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a$ |
| Hyperbel | Unterschied der Abstände zu zwei Brennpunkten ist konstant: $|\overline{PF_1} - \overline{PF_2}| = 2a$ |
| Parabel | Abstand zum Brennpunkt F ist gleich dem Abstand zur Leitlinie |
Die Ellipse kann man deshalb mit einer Schnur zeichnen: Die Enden an zwei Nägeln (den Brennpunkten) festmachen, die Schnur mit dem Stift straff ziehen und herumfahren. Gärtner legen so ovale Beete an – daher heißt das die Gärtnerkonstruktion.
Ellipse
Mittelpunktsgleichung
a und b sind die Halbachsen, e ist die lineare Exzentrizität. Die Brennpunkte liegen bei $F_{1,2}(\pm e \mid 0)$. Für $a = b$ ist die Ellipse ein Kreis.
Beispiel: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ hat $a = 5$, $b = 3$ und $e = \sqrt{25 - 9} = 4$. Die Brennpunkte sind $F_1(-4 \mid 0)$ und $F_2(4 \mid 0)$; jeder Punkt der Ellipse ist von beiden zusammen 10 entfernt.
Hyperbel
Mittelpunktsgleichung
Beispiel: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ hat die Scheitel $(\pm 3 \mid 0)$, die Brennpunkte $(\pm 5 \mid 0)$, denn $\sqrt{9 + 16} = 5$, und die Asymptoten $y = \pm\frac{4}{3}x$. Die Kurve kommt den Asymptoten beliebig nahe, berührt sie aber nie. Achtung: Bei der Ellipse wird subtrahiert, bei der Hyperbel addiert.
Parabel
Scheitelgleichung
Die bekannte Normalparabel ist dieselbe Kurve, nur um 90° gedreht: $y = \frac{1}{4}x^2$ bedeutet $x^2 = 4y$, also $2p = 4$ und $p = 2$. Ihr Brennpunkt liegt bei $F(0 \mid 1)$, die Leitlinie ist $y = -1$. Allgemein hat $y = ax^2$ den Brennpunkt $F\left(0 \mid \frac{1}{4a}\right)$. Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, werden an einer Parabel genau in den Brennpunkt gespiegelt – darauf beruhen Parabolspiegel und Satellitenschüsseln.
Exzentrizität
Die numerische Exzentrizität $\varepsilon = \frac{e}{a}$ sagt, wie „gestreckt“ ein Kegelschnitt ist: Beim Kreis ist $\varepsilon = 0$, bei Ellipsen liegt sie zwischen 0 und 1, die Parabel hat genau $\varepsilon = 1$, Hyperbeln haben $\varepsilon > 1$. Die Erdbahn um die Sonne ist eine Ellipse mit $\varepsilon \approx 0{,}017$ – fast ein Kreis; die Sonne steht in einem Brennpunkt.
Allgemeine Gleichung in Normalform bringen
Oft ist ein Kegelschnitt als $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ gegeben. Mit der quadratischen Ergänzung für x und y erhält man Mittelpunkt und Halbachsen:
Beispiel
Das ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt $M(2 \mid -1)$ und den Halbachsen $a = 3$, $b = 2$. Haben die Zahlen vor $x^2$ und $y^2$ verschiedene Vorzeichen, ist es eine Hyperbel; fehlt eines der Quadrate, eine Parabel.
Typische Fehler
- e falsch berechnet: Ellipse $e^2 = a^2 - b^2$, Hyperbel $e^2 = a^2 + b^2$.
- a statt a² abgelesen: In $\frac{x^2}{25}$ ist $a = 5$, nicht 25.
- Große Halbachse übersehen: Ist b größer als a, liegen die Brennpunkte der Ellipse auf der y-Achse.
Online üben
Runde auf zwei Nachkommastellen. Punkte gibst Du als (2|-1) ein.
Stufe 1: Brennpunkte berechnen
-
Aufgabe 1
\(\frac{x^2}{121} + \frac{y^2}{49} = 1:\; e = ?\)\(e = \sqrt{121 - 49} \approx 8{,}49,\; F(\pm e \mid 0)\)
-
Aufgabe 2
\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1:\; e = ?\)\(e = \sqrt{16 + 9} = 5\)
-
Aufgabe 3
\(\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{9} = 1:\; e = ?\)\(e = \sqrt{81 - 9} \approx 8{,}49,\; F(\pm e \mid 0)\)
-
Aufgabe 4
\(\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1:\; e = ?\)\(e = \sqrt{169 - 25} = 12,\; F(\pm e \mid 0)\)
-
Aufgabe 5
\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1:\; e = ?\)\(e = \sqrt{16 + 4} \approx 4{,}47\)
-
Aufgabe 6
\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1:\; e = ?\)\(e = \sqrt{25 - 9} = 4,\; F(\pm e \mid 0)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.
Kreisgleichung und Kreis und Gerade: Kreis im Koordinatensystem. Parabeln als Funktionsgraphen: quadratische Funktionen. Weitere Kurven als Ortslinien: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Weiterlesen: Kegelschnitt bei Wikipedia