Polyeder und platonische Körper
Würfel, Pyramiden und Prismen haben etwas gemeinsam: Sie sind nur von ebenen Vielecken begrenzt. Solche Körper heißen Polyeder. Zählt man ihre Ecken, Kanten und Flächen, stößt man auf eine erstaunliche Regel, die für alle gilt.
Was ist ein Polyeder?
Ein Polyeder (griechisch „Vielflächner“) ist ein Körper, dessen Oberfläche nur aus ebenen Vielecken besteht. Wo zwei Flächen zusammenstoßen, liegt eine Kante, wo mehrere Kanten zusammenkommen, eine Ecke. Würfel, Quader, Prismen und Pyramiden sind Polyeder; Zylinder, Kegel und Kugel nicht, denn sie haben gekrümmte Flächen.
Der Eulersche Polyedersatz
Merke
Für jeden konvexen Polyeder (ohne Dellen und ohne Löcher) gilt mit der Anzahl der Ecken E, der Kanten K und der Flächen F:
| Körper | E | K | F | E − K + F |
|---|---|---|---|---|
| Würfel, Quader | 8 | 12 | 6 | 2 |
| dreiseitiges Prisma | 6 | 9 | 5 | 2 |
| quadratische Pyramide | 5 | 8 | 5 | 2 |
| sechsseitiges Prisma | 12 | 18 | 8 | 2 |
| n-seitiges Prisma | 2n | 3n | n + 2 | 2 |
| n-seitige Pyramide | n + 1 | 2n | n + 1 | 2 |
Die Regel geht auf Leonhard Euler (1707–1783) zurück. Sie hilft beim Nachzählen: Kommt nicht 2 heraus, hat man sich verzählt. Kennt man zwei der drei Anzahlen, liefert sie die dritte. Bei Körpern mit einem Loch, etwa einem Bilderrahmen aus Holz, ergibt sich übrigens 0 statt 2.
Die fünf platonischen Körper
Ein Polyeder heißt regelmäßig oder platonisch, wenn alle Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jeder Ecke gleich viele Flächen zusammentreffen. Davon gibt es genau fünf. Ziehe mit der Maus oder dem Finger, um die Körper zu drehen:
Die fünf platonischen Körper zum Drehen
Tetraeder: 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Flächen (gleichseitige Dreiecke).
| Körper | Flächen | an jeder Ecke | E | K | F |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | gleichseitige Dreiecke | 3 | 4 | 6 | 4 |
| Würfel (Hexaeder) | Quadrate | 3 | 8 | 12 | 6 |
| Oktaeder | gleichseitige Dreiecke | 4 | 6 | 12 | 8 |
| Dodekaeder | regelmäßige Fünfecke | 3 | 20 | 30 | 12 |
| Ikosaeder | gleichseitige Dreiecke | 5 | 12 | 30 | 20 |
Warum gibt es genau fünf?
An einer Ecke müssen mindestens drei Flächen zusammenkommen, und ihre Winkel müssen zusammen weniger als 360° ergeben – sonst liegen sie flach in der Ebene wie bei einem Parkett oder überlappen sich.
- Gleichseitige Dreiecke (60°): 3, 4 oder 5 an einer Ecke ergeben 180°, 240° und 300° – Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder. Sechs Dreiecke wären schon 360°.
- Quadrate (90°): nur 3 an einer Ecke (270°) – der Würfel.
- Regelmäßige Fünfecke (108°): nur 3 an einer Ecke (324°) – das Dodekaeder.
- Sechsecke (120°): Schon drei ergeben 360° – damit lässt sich kein Körper mehr bauen.
Würfel und Oktaeder sind übrigens dual zueinander: Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Würfelflächen, entsteht ein Oktaeder – Ecken und Flächen tauschen die Rollen (8 und 6). Ebenso gehören Dodekaeder und Ikosaeder zusammen; das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
Oberfläche und Volumen
| Körper | Oberfläche O | Volumen V |
|---|---|---|
| Tetraeder | $\sqrt{3}\,a^2$ | $\frac{\sqrt{2}}{12}\,a^3$ |
| Würfel (Hexaeder) | $6\,a^2$ | $a^3$ |
| Oktaeder | $2\sqrt{3}\,a^2$ | $\frac{\sqrt{2}}{3}\,a^3$ |
| Dodekaeder | $3\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\,a^2$ | $\frac{15 + 7\sqrt{5}}{4}\,a^3$ |
| Ikosaeder | $5\sqrt{3}\,a^2$ | $\frac{5\,(3 + \sqrt{5})}{12}\,a^3$ |
Die Oberfläche ist einfach die Summe aller Flächen: Beim Oktaeder sind es acht gleichseitige Dreiecke mit je $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$, zusammen also $2\sqrt{3}\,a^2$. Das Oktaeder kann man sich als zwei quadratische Pyramiden vorstellen, die mit der Grundfläche aneinanderkleben – daraus folgt sein Volumen.
Typische Fehler
- Kanten doppelt gezählt: Jede Kante gehört zu genau zwei Flächen. Zählt man pro Fläche, muss man am Ende durch 2 teilen.
- Euler bei Körpern mit Loch: Der Satz gilt nur für Polyeder ohne Löcher.
- Hexaeder nicht erkannt: Der Würfel heißt als platonischer Körper auch Hexaeder (Sechsflächner).
Online üben
Anzahlen gibst Du als ganze Zahl ein, Flächen und Volumen auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Stufe 1: Ecken, Kanten, Flächen
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Aufgabe 1
Wie viele Kanten hat eine Pyramide mit 11-eckiger Grundfläche?Kanten: 22 (E = 12, K = 22, F = 12)
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Aufgabe 2
Wie viele Ecken hat ein Prisma mit 3-eckiger Grundfläche?Ecken: 6 (E = 6, K = 9, F = 5)
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Aufgabe 3
Wie viele Kanten hat ein Prisma mit 5-eckiger Grundfläche?Kanten: 15 (E = 10, K = 15, F = 7)
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Aufgabe 4
Ein Polyeder hat 24 Ecken und 36 Kanten. Wie viele Flächen hat er? (Euler: E − K + F = 2)F = 2 − 24 + 36 = 14
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Aufgabe 5
Ein Polyeder hat 6 Ecken und 9 Kanten. Wie viele Flächen hat er? (Euler: E − K + F = 2)F = 2 − 6 + 9 = 5
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Aufgabe 6
Wie viele Ecken hat eine Pyramide mit 12-eckiger Grundfläche?Ecken: 13 (E = 13, K = 24, F = 13)
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Polyeder und platonische Körper
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–10.
Netze und Ansichten von Körpern: Körpernetze. Alle Formeln für Würfel, Prisma und Pyramide: Körper berechnen. Die Flächen der platonischen Körper sind regelmäßige Vielecke.
Weiterlesen: Polyeder, Platonischer Körper bei Wikipedia