Würfel berechnen
Beim Würfel sind alle zwölf Kanten gleich lang. Deshalb genügt eine einzige Angabe – Kante, Volumen, Oberfläche oder Diagonale –, um alles andere auszurechnen.
Eigenschaften
- 6 gleich große Quadrate als Seitenflächen, 12 gleich lange Kanten, 8 Ecken.
- An jeder Ecke stoßen drei Kanten im rechten Winkel aufeinander.
- Der Würfel ist ein besonderer Quader (Länge = Breite = Höhe) und ein besonderes Prisma.
- Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze – mehr dazu bei Körpernetze und Ansichten.
Die Formeln
Das Volumen zählt, wie viele Einheitswürfel hineinpassen: $a$ Stück in einer Reihe, $a$ Reihen in einer Schicht, $a$ Schichten übereinander. Die Oberfläche besteht aus sechs Quadraten mit je $a^2$. Die Summe aller Kanten ist $12 \cdot a$ – das brauchst Du etwa für ein Kantenmodell aus Draht.
Beispiele
Beispiel 1: Volumen und Oberfläche
Ein Spielwürfel hat die Kantenlänge $a = 1{,}6\,\text{cm}$.
Beispiel 2: Kante aus dem Volumen
Ein würfelförmiger Behälter fasst $343\,\text{cm}^3$. Gesucht ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 343 ergibt – die dritte Wurzel:
Beispiel 3: Raumdiagonale
Bei $a = 5\,\text{cm}$ ist die Diagonale einer Seitenfläche $5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}$. Die Raumdiagonale von einer Ecke quer durch den Würfel zur gegenüberliegenden Ecke ist $5\sqrt{3} \approx 8{,}66\,\text{cm}$. Sie entsteht mit dem Satz des Pythagoras: $d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = 3a^2$.
Doppelte Kante – achtfaches Volumen
Verdoppelst Du die Kantenlänge, wird die Oberfläche $2^2 = 4$-mal so groß und das Volumen sogar $2^3 = 8$-mal so groß. Ein Würfel mit 10 cm Kante hat also nicht doppelt, sondern achtmal so viel Volumen wie einer mit 5 cm.
Ergebnis
So groß ist der Würfel (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet):
V = 125 cm³ · O = 150 cm²
| Größe | Wert |
|---|---|
| Kantenlänge a | \(a = 5\,\text{cm}\) |
| Volumen V | \(V = 125\,\text{cm}^3\) |
| Oberfläche O | \(O = 150\,\text{cm}^2\) gegeben |
| Raumdiagonale d | \(d \approx 8{,}66\,\text{cm}\) |
Zur Einordnung: 125 cm³ sind 0,125 Liter (1 dm³ = 1 Liter).
Rechenweg
Kante aus der Oberfläche
\[a = \sqrt{\frac{O}{6}}\]\[a = \sqrt{\frac{150}{6}} = 5\,\text{cm}\]Volumen berechnen
Kante mal Kante mal Kante.
\[V = a^3\]\[V = 5^3 = 125\,\text{cm}^3\]Raumdiagonale berechnen
Zweimal Pythagoras: d² = a² + a² + a² = 3a².
\[d = a \cdot \sqrt{3}\]\[d = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 8{,}66\,\text{cm}\]
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Stufe 1: Würfel
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Aufgabe 1
Würfel mit \(a = 10\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Würfel mit \(a = 10\,\text{cm}:\) \(V = 1000\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 2
Würfel mit \(a = 9\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Würfel mit \(a = 9\,\text{cm}:\) \(O = 486\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
Würfel mit \(a = 7\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Würfel mit \(a = 7\,\text{cm}:\) \(O = 294\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
Würfel mit \(a = 12\,\text{cm}:\) \(O\)cm²Würfel mit \(a = 12\,\text{cm}:\) \(O = 864\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 5
Würfel mit \(a = 4\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Würfel mit \(a = 4\,\text{cm}:\) \(V = 64\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 6
Würfel mit \(a = 8\,\text{cm}:\) \(V\)cm³Würfel mit \(a = 8\,\text{cm}:\) \(V = 512\,\text{cm}^3\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–6.
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Weiterlesen: Würfel (Geometrie) bei Wikipedia