Gütefunktion eines Hypothesentests
Ein Hypothesentest entscheidet anhand einer Stichprobe – und kann sich dabei irren. Wie zuverlässig er eine falsche Nullhypothese erkennt, hängt davon ab, wie weit der wahre Wert von p₀ entfernt ist. Die Gütefunktion zeigt das für alle möglichen Werte von p auf einen Blick.
Ausgangsbeispiel
Ein Online-Shop behauptet, höchstens 20 % seiner Kunden seien unzufrieden. Eine Verbraucherzeitschrift befragt 50 Kunden und testet $H_0\!: p \le 0{,}2$ gegen $H_1\!: p > 0{,}2$ mit $\alpha = 5\,\%$. Unter $H_0$ ist $P(X \ge 16) \approx 0{,}0308$, aber $P(X \ge 15) > 5\,\%$. Abgelehnt wird also ab 16 unzufriedenen Kunden: $\overline{A} = \{16;\ \ldots;\ 50\}$.
Wie oft schlägt der Test Alarm, wenn in Wahrheit 30 % unzufrieden sind? $P_{0{,}3}(X \ge 16) \approx 0{,}4308$ – also nicht einmal in jedem zweiten Fall.
Was die Gütefunktion angibt
Gütefunktion
Die Gütefunktion ordnet jedem möglichen wahren Wert $p$ die Wahrscheinlichkeit zu, dass der Test die Nullhypothese ablehnt:
Der Ablehnungsbereich bleibt fest – er wurde mit $p_0$ bestimmt. Eingesetzt wird jetzt aber der wahre Wert $p$.
Aus der Gütefunktion lassen sich beide Fehlerarten ablesen:
- p gehört zu H₀: Eine Ablehnung wäre falsch. $g(p)$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art und höchstens $\alpha$. Bei $p_0$ selbst liefert $g(p_0)$ das tatsächliche Signifikanzniveau, im Beispiel $g(0{,}2) \approx 0{,}0308$.
- p gehört zu H₁: Eine Ablehnung ist richtig. $g(p)$ heißt dann Güte, Macht oder Teststärke, und $\beta(p) = 1 - g(p)$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art. Im Beispiel: $g(0{,}3) \approx 0{,}4308$, $g(0{,}4) \approx 0{,}9045$, $g(0{,}5) \approx 0{,}9967$.
Je weiter der wahre Wert von $p_0$ weg liegt, desto sicherer bemerkt der Test die Abweichung. Kleine Abweichungen übersieht er dagegen oft.
Gütefunktion zum Ausprobieren
Rechtsseitiger Test H₀: p ≤ p₀. Verändere n und α und schau, wie sich die Kurve verändert. Der Punkt zeigt, wie oft der Test bei einem wahren Anteil p ablehnt.
Ablehnungsbereich {16; …; 50}. Bei p = 0,3 lehnt der Test mit Wahrscheinlichkeit 0,431 ab (Güte), Fehler 2. Art β ≈ 0,569.
Verlauf: rechtsseitig, linksseitig, zweiseitig
| Test | Ablehnungsbereich | Gütefunktion | Verlauf |
|---|---|---|---|
| rechtsseitig, $H_0\!: p \le p_0$ | $\{k;\ \ldots;\ n\}$ | $P_p(X \ge k)$ | steigt von 0 auf 1 |
| linksseitig, $H_0\!: p \ge p_0$ | $\{0;\ \ldots;\ k\}$ | $P_p(X \le k)$ | fällt von 1 auf 0 |
| zweiseitig, $H_0\!: p = p_0$ | beide Ränder | $P_p(X \le a) + P_p(X \ge b)$ | Tal mit dem tiefsten Punkt nahe $p_0$ |
Ein idealer Test würde unter $H_0$ nie und unter $H_1$ immer ablehnen. Seine Gütefunktion wäre eine Stufe genau bei $p_0$. Echte Tests nähern sich dieser Stufe nur an – je steiler ihre Gütefunktion bei $p_0$ ansteigt, desto besser trennen sie.
Einfluss von n und α
Größeres n: Mit 200 statt 50 Befragten liegt der Ablehnungsbereich bei $\overline{A} = \{50;\ 51;\ \ldots;\ 200\}$, und die Güte bei $p = 0{,}3$ steigt von etwa $0{,}4308$ auf $0{,}9494$. Die Kurve wird steiler: Beide Fehler werden gleichzeitig kleiner.
Kleineres α: Mit $\alpha = 1\,\%$ statt 5 % wird erst ab 18 unzufriedenen Kunden abgelehnt. Fehler 1. Art werden seltener, dafür sinkt die Güte bei $p = 0{,}3$ auf etwa $0{,}2178$. Bei festem n kann man also nur einen Fehler auf Kosten des anderen verkleinern.
OC-Kurve
Statt der Ablehnung kann man auch die Annahme betrachten. Die Operationscharakteristik (OC-Kurve) ist $\mathrm{OC}(p) = 1 - g(p) = P_p(X \in A)$ – die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ beizubehalten. Für Werte aus $H_1$ ist das genau der Fehler 2. Art. In der Qualitätskontrolle ist die OC-Kurve üblich: Sie zeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Lieferung bei einem bestimmten Ausschussanteil angenommen wird.
Mindeststichprobenumfang
Typische Abituraufgabe: „Wie viele Kunden muss die Zeitschrift mindestens befragen, damit sie einen Anteil von 30 % Unzufriedenen mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit erkennt?“ Gesucht ist das kleinste n mit $\beta(0{,}3) \le 0{,}1$. Für jedes n gehört dazu ein eigener Ablehnungsbereich, deshalb probiert man systematisch – am besten mit der Tabellenfunktion des Taschenrechners. Hier ergibt sich n = 160.
Weil X nur ganze Werte annimmt, verschiebt sich der Ablehnungsbereich in Sprüngen. Dadurch kann β bei etwas größerem n kurz wieder über die Grenze rutschen. Der Rechner unten zeigt diesen Sägezahn-Verlauf und gibt an, ab welchem n die Bedingung dauerhaft erfüllt ist.
Typische Fehler
- Ablehnungsbereich mit dem wahren p bestimmt: Der Bereich kommt immer aus $p_0$, nur die Güte wird mit dem wahren p berechnet.
- g und β verwechselt: g ist die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung, β die der Annahme – zusammen ergeben sie 1.
- Güte für p aus H₀ gedeutet: Dort ist g(p) kein Erfolg, sondern ein Fehler 1. Art.
- Beim Mindest-n nur einen Wert probiert: Ändert sich n, ändert sich auch der Ablehnungsbereich.
Online üben
Für Stufe 2 und 3 brauchst Du die kumulierte Binomialverteilung (Taschenrechner oder Tabelle). Runde auf mindestens drei Nachkommastellen.
Stufe 2: g(p) und β berechnen
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Aufgabe 1
Linksseitiger Test (H₀: p ≥ 0,6, n = 60): Abgelehnt wird bei X ≤ 29. Berechne g(0,45) und damit die Wahrscheinlichkeit, die Abweichung zu erkennen.g(0,45) = P(X ≤ 29) mit p = 0,45 ≈ 0,7424
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Aufgabe 2
Linksseitiger Test (H₀: p ≥ 0,7, n = 30): Abgelehnt wird bei X ≤ 16. Berechne g(0,6) und damit die Wahrscheinlichkeit, die Abweichung zu erkennen.g(0,6) = P(X ≤ 16) mit p = 0,6 ≈ 0,2855
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Aufgabe 3
Linksseitiger Test (H₀: p ≥ 0,9, n = 50): Abgelehnt wird bei X ≤ 40. Berechne g(0,75) und damit die Wahrscheinlichkeit, die Abweichung zu erkennen.g(0,75) = P(X ≤ 40) mit p = 0,75 ≈ 0,8363
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Aufgabe 4
Linksseitiger Test (H₀: p ≥ 0,7, n = 40): Abgelehnt wird bei X ≤ 22. Berechne g(0,5) und damit die Wahrscheinlichkeit, die Abweichung zu erkennen.g(0,5) = P(X ≤ 22) mit p = 0,5 ≈ 0,7852
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Aufgabe 5
Rechtsseitiger Test mit n = 40 Kunden: H₀ wird abgelehnt, wenn mindestens 18 unzufrieden sind. Berechne die Güte g(0,45).g(0,45) = P(X ≥ 18) mit p = 0,45: ≈ 0,5609
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Aufgabe 6
Linksseitiger Test (H₀: p ≥ 0,7, n = 60): Abgelehnt wird bei X ≤ 35. Berechne g(0,55) und damit die Wahrscheinlichkeit, die Abweichung zu erkennen.g(0,55) = P(X ≤ 35) mit p = 0,55 ≈ 0,7408
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gütefunktion und Fehler 2. Art
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Grundlagen zum Test und zum Ablehnungsbereich: Hypothesentest und Hypothesentest-Rechner. Für große n mit der Normalverteilung: Hypothesentest mit Normalverteilung.
Weiterlesen: Operationscharakteristik, Fehler 1. und 2. Art bei Wikipedia