Gütefunktion eines Hypothesentests
Ein Hypothesentest entscheidet anhand einer Stichprobe – und kann sich dabei irren. Wie zuverlässig er eine falsche Nullhypothese erkennt, hängt davon ab, wie weit der wahre Wert von p₀ entfernt ist. Die Gütefunktion zeigt das für alle möglichen Werte von p auf einen Blick.
Ausgangsbeispiel
Ein Online-Shop behauptet, höchstens 20 % seiner Kunden seien unzufrieden. Eine Verbraucherzeitschrift befragt 50 Kunden und testet $H_0\!: p \le 0{,}2$ gegen $H_1\!: p > 0{,}2$ mit $\alpha = 5\,\%$. Unter $H_0$ ist $P(X \ge 16) \approx 0{,}0308$, aber $P(X \ge 15) > 5\,\%$. Abgelehnt wird also ab 16 unzufriedenen Kunden: $\overline{A} = \{16;\ \ldots;\ 50\}$.
Wie oft schlägt der Test Alarm, wenn in Wahrheit 30 % unzufrieden sind? $P_{0{,}3}(X \ge 16) \approx 0{,}4308$ – also nicht einmal in jedem zweiten Fall.
Was die Gütefunktion angibt
Gütefunktion
Die Gütefunktion ordnet jedem möglichen wahren Wert $p$ die Wahrscheinlichkeit zu, dass der Test die Nullhypothese ablehnt:
Der Ablehnungsbereich bleibt fest – er wurde mit $p_0$ bestimmt. Eingesetzt wird jetzt aber der wahre Wert $p$.
Aus der Gütefunktion lassen sich beide Fehlerarten ablesen:
- p gehört zu H₀: Eine Ablehnung wäre falsch. $g(p)$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art und höchstens $\alpha$. Bei $p_0$ selbst liefert $g(p_0)$ das tatsächliche Signifikanzniveau, im Beispiel $g(0{,}2) \approx 0{,}0308$.
- p gehört zu H₁: Eine Ablehnung ist richtig. $g(p)$ heißt dann Güte, Macht oder Teststärke, und $\beta(p) = 1 - g(p)$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art. Im Beispiel: $g(0{,}3) \approx 0{,}4308$, $g(0{,}4) \approx 0{,}9045$, $g(0{,}5) \approx 0{,}9967$.
Je weiter der wahre Wert von $p_0$ weg liegt, desto sicherer bemerkt der Test die Abweichung. Kleine Abweichungen übersieht er dagegen oft.
Gütefunktion zum Ausprobieren
Rechtsseitiger Test H₀: p ≤ p₀. Verändere n und α und schau, wie sich die Kurve verändert. Der Punkt zeigt, wie oft der Test bei einem wahren Anteil p ablehnt.
Ablehnungsbereich {16; …; 50}. Bei p = 0,3 lehnt der Test mit Wahrscheinlichkeit 0,431 ab (Güte), Fehler 2. Art β ≈ 0,569.
Verlauf: rechtsseitig, linksseitig, zweiseitig
| Test | Ablehnungsbereich | Gütefunktion | Verlauf |
|---|---|---|---|
| rechtsseitig, $H_0\!: p \le p_0$ | $\{k;\ \ldots;\ n\}$ | $P_p(X \ge k)$ | steigt von 0 auf 1 |
| linksseitig, $H_0\!: p \ge p_0$ | $\{0;\ \ldots;\ k\}$ | $P_p(X \le k)$ | fällt von 1 auf 0 |
| zweiseitig, $H_0\!: p = p_0$ | beide Ränder | $P_p(X \le a) + P_p(X \ge b)$ | Tal mit dem tiefsten Punkt nahe $p_0$ |
Ein idealer Test würde unter $H_0$ nie und unter $H_1$ immer ablehnen. Seine Gütefunktion wäre eine Stufe genau bei $p_0$. Echte Tests nähern sich dieser Stufe nur an – je steiler ihre Gütefunktion bei $p_0$ ansteigt, desto besser trennen sie.
Einfluss von n und α
Größeres n: Mit 200 statt 50 Befragten liegt der Ablehnungsbereich bei $\overline{A} = \{50;\ 51;\ \ldots;\ 200\}$, und die Güte bei $p = 0{,}3$ steigt von etwa $0{,}4308$ auf $0{,}9494$. Die Kurve wird steiler: Beide Fehler werden gleichzeitig kleiner.
Kleineres α: Mit $\alpha = 1\,\%$ statt 5 % wird erst ab 18 unzufriedenen Kunden abgelehnt. Fehler 1. Art werden seltener, dafür sinkt die Güte bei $p = 0{,}3$ auf etwa $0{,}2178$. Bei festem n kann man also nur einen Fehler auf Kosten des anderen verkleinern.
OC-Kurve
Statt der Ablehnung kann man auch die Annahme betrachten. Die Operationscharakteristik (OC-Kurve) ist $\mathrm{OC}(p) = 1 - g(p) = P_p(X \in A)$ – die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ beizubehalten. Für Werte aus $H_1$ ist das genau der Fehler 2. Art. In der Qualitätskontrolle ist die OC-Kurve üblich: Sie zeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Lieferung bei einem bestimmten Ausschussanteil angenommen wird.
Mindeststichprobenumfang
Typische Abituraufgabe: „Wie viele Kunden muss die Zeitschrift mindestens befragen, damit sie einen Anteil von 30 % Unzufriedenen mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit erkennt?“ Gesucht ist das kleinste n mit $\beta(0{,}3) \le 0{,}1$. Für jedes n gehört dazu ein eigener Ablehnungsbereich, deshalb probiert man systematisch – am besten mit der Tabellenfunktion des Taschenrechners. Hier ergibt sich n = 160.
Weil X nur ganze Werte annimmt, verschiebt sich der Ablehnungsbereich in Sprüngen. Dadurch kann β bei etwas größerem n kurz wieder über die Grenze rutschen. Der Rechner unten zeigt diesen Sägezahn-Verlauf und gibt an, ab welchem n die Bedingung dauerhaft erfüllt ist.
Typische Fehler
- Ablehnungsbereich mit dem wahren p bestimmt: Der Bereich kommt immer aus $p_0$, nur die Güte wird mit dem wahren p berechnet.
- g und β verwechselt: g ist die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung, β die der Annahme – zusammen ergeben sie 1.
- Güte für p aus H₀ gedeutet: Dort ist g(p) kein Erfolg, sondern ein Fehler 1. Art.
- Beim Mindest-n nur einen Wert probiert: Ändert sich n, ändert sich auch der Ablehnungsbereich.
Online üben
Für Stufe 2 und 3 brauchst Du die kumulierte Binomialverteilung (Taschenrechner oder Tabelle). Runde auf mindestens drei Nachkommastellen.
Stufe 3: zweiseitig, Stichprobenumfang
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Aufgabe 1
Rechtsseitiger Test, H₀: p ≤ 0,5, α = 5 %. Bei welchem der Umfänge 50, 100, 150, 200 ist der Fehler 2. Art für p = 0,65 zum ersten Mal höchstens 10 %?n = 50: β ≈ 0,3784; n = 100: β ≈ 0,0877; n = 150: β ≈ 0,0211; n = 200: β ≈ 0,0052
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Aufgabe 2
Rechtsseitiger Test, H₀: p ≤ 0,4, n = 30, α = 5 %. Ab welcher Anzahl k wird H₀ abgelehnt (kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05)?P(X ≥ 17) ≈ 0,0481 ≤ 0,05, aber P(X ≥ 16) ≈ 0,0971, also k = 17
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Aufgabe 3
Rechtsseitiger Test, H₀: p ≤ 0,3, n = 25, α = 5 %. Ab welcher Anzahl k wird H₀ abgelehnt (kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05)?P(X ≥ 12) ≈ 0,0442 ≤ 0,05, aber P(X ≥ 11) ≈ 0,0978, also k = 12
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Aufgabe 4
Rechtsseitiger Test, H₀: p ≤ 0,5, α = 5 %. Bei welchem der Umfänge 40, 80, 120, 160 ist der Fehler 2. Art für p = 0,65 zum ersten Mal höchstens 10 %?n = 40: β ≈ 0,4279; n = 80: β ≈ 0,1460; n = 120: β ≈ 0,0533; n = 160: β ≈ 0,0135
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Aufgabe 5
Rechtsseitiger Test, H₀: p ≤ 0,6, n = 50, α = 5 %. Ab welcher Anzahl k wird H₀ abgelehnt (kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05)?P(X ≥ 37) ≈ 0,0280 ≤ 0,05, aber P(X ≥ 36) ≈ 0,0540, also k = 37
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Aufgabe 6
Zweiseitiger Test einer Münze (H₀: p = 0,5) mit n = 100 Würfen: Abgelehnt wird bei X ≤ 39 oder X ≥ 61. Berechne g(0,35).g = P(X ≤ 39) + P(X ≥ 61) mit p = 0,35 ≈ 0,8276
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gütefunktion und Fehler 2. Art
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Grundlagen zum Test und zum Ablehnungsbereich: Hypothesentest und Hypothesentest-Rechner. Für große n mit der Normalverteilung: Hypothesentest mit Normalverteilung.
Weiterlesen: Operationscharakteristik, Fehler 1. und 2. Art bei Wikipedia