Hypergeometrische Verteilung
Wer Lose aus einer Trommel zieht, legt sie nicht zurück. Damit ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Zug zu Zug – die Binomialverteilung passt dann nicht mehr. Für dieses Ziehen ohne Zurücklegen gibt es eine eigene, gut handhabbare Formel.
Wann ist eine Zufallsgröße hypergeometrisch verteilt?
In einer Urne liegen N Kugeln, davon sind M „Treffer“ (z. B. rot) und $N - M$ „Nieten“. Es werden n Kugeln auf einmal oder nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X zählt die Treffer unter den gezogenen Kugeln. Typische Beispiele:
- Lotto 6 aus 49: Wie viele meiner 6 Zahlen werden gezogen?
- Qualitätskontrolle: Wie viele defekte Teile sind in einer Stichprobe aus einer Lieferung?
- Kartenspiel: Wie viele Asse bekomme ich beim Austeilen?
- Ausschuss oder Gremium: Wie viele Mädchen sind unter den ausgelosten Klassensprechern?
Formel
Im Nenner steht, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Kugeln aus N auszuwählen. Im Zähler werden die günstigen Möglichkeiten gezählt: k Treffer aus den M Treffern und die restlichen $n - k$ Kugeln aus den $N - M$ Nieten. Es ist also die Laplace-Regel „günstig durch möglich“, nur mit Binomialkoeffizienten gezählt.
Beispiel: Lotto 6 aus 49
Unter den 49 Zahlen sind meine 6 angekreuzten die „Treffer“ (M = 6), gezogen werden n = 6 Zahlen. Wie wahrscheinlich sind genau 3 Richtige?
Etwa jeder 57. Tipp hat also genau drei Richtige. Für sechs Richtige gibt es im Zähler nur $\binom{6}{6} \cdot \binom{43}{0} = 1$ Möglichkeit – die Wahrscheinlichkeit ist $\frac{1}{13\,983\,816}$.
Beispiel: Qualitätskontrolle mit „mindestens“
Beispiel
Ein Karton enthält 20 Glühbirnen, 3 davon sind defekt. Die Prüferin nimmt 4 Birnen heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entdeckt sie mindestens eine defekte?
Am schnellsten geht es über das Gegenereignis „keine defekte Birne“:
Die Stichprobe deckt einen Fehler also nur in gut der Hälfte der Fälle auf – mit vier Birnen ist die Kontrolle ziemlich grob.
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert ist derselbe wie bei der Binomialverteilung mit $p = \frac{M}{N}$. Die Varianz ist dagegen kleiner: Der Faktor $\frac{N - n}{N - 1}$ heißt Endlichkeitskorrektur. Beim Lotto erwartet man $6 \cdot \frac{6}{49} \approx 0{,}73$ Richtige pro Tipp.
Vergleich mit der Binomialverteilung
Ist die Urne sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, macht es kaum einen Unterschied, ob man zurücklegt: Eine gezogene Kugel verändert die Anteile dann fast nicht. Als Faustregel kann man die hypergeometrische durch die Binomialverteilung mit $p = \frac{M}{N}$ ersetzen, wenn höchstens etwa 5 % der Kugeln gezogen werden ($n \le 0{,}05 \cdot N$). Umfragen unter wenigen hundert Menschen aus einer Großstadt rechnet man deshalb binomial, obwohl niemand zweimal befragt wird.
Typische Fehler
- Binomialverteilung genommen: Steht „ohne Zurücklegen“ oder „gleichzeitig“ in der Aufgabe und ist die Urne klein, gilt die hypergeometrische Verteilung.
- Nieten vergessen: Im Zähler gehört auch $\binom{N - M}{n - k}$ dazu – sonst zählt man nur die Treffer aus.
- Reihenfolge eingerechnet: Die Binomialkoeffizienten zählen schon ohne Reihenfolge. Ein zusätzlicher Faktor für die Anordnung wäre doppelt gezählt.
- „Mindestens“ mühsam aufsummiert: Bei „mindestens 1“ ist $1 - P(X = 0)$ viel kürzer.
Im Lehrplan: Ziehen ohne Zurücklegen mit Binomialkoeffizienten kommt in der Oberstufe in fast allen Ländern als Lotto- oder Urnenaufgabe vor. Als eigene Verteilung mit Erwartungswert steht die hypergeometrische Verteilung in einigen Kerncurricula, etwa in Hessen unter den „weiteren Verteilungen“.
Online üben
Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch (z. B. 29/57) oder als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen ein.
Stufe 1: genau k Treffer, kleine Zahlen
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Aufgabe 1
9 Kugeln, davon 2 rote. Du ziehst 3 ohne Zurücklegen. \(P(\text{genau } 2 \text{ rote})\)\(\frac{\binom{2}{2} \cdot \binom{7}{1}}{\binom{9}{3}}\) \(= \frac{1 \cdot 7}{84}\) \(= \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\)
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Aufgabe 2
7 Bonbons, davon 5 Zitronenbonbons. Du ziehst 3 ohne Zurücklegen. \(P(\text{genau } 2\) Zitronenbonbons\()\)\(\frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{7}{3}}\) \(= \frac{10 \cdot 2}{35}\) \(= \frac{4}{7} \approx 0{,}5714\)
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Aufgabe 3
10 Lose, davon 4 Gewinnlose. Du ziehst 2 ohne Zurücklegen. \(P(\text{genau } 2\) Gewinnlose\()\)\(\frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{0}}{\binom{10}{2}}\) \(= \frac{6 \cdot 1}{45}\) \(= \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\)
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Aufgabe 4
11 Lose, davon 6 Gewinnlose. Du ziehst 3 ohne Zurücklegen. \(P(\text{genau } 1\) Gewinnlose\()\)\(\frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{5}{2}}{\binom{11}{3}}\) \(= \frac{6 \cdot 10}{165}\) \(= \frac{4}{11} \approx 0{,}3636\)
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Aufgabe 5
11 Bonbons, davon 2 Zitronenbonbons. Du ziehst 2 ohne Zurücklegen. \(P(\text{genau } 1\) Zitronenbonbons\()\)\(\frac{\binom{2}{1} \cdot \binom{9}{1}}{\binom{11}{2}}\) \(= \frac{2 \cdot 9}{55}\) \(= \frac{18}{55} \approx 0{,}3273\)
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Aufgabe 6
11 Lose, davon 3 Gewinnlose. Du ziehst 3 ohne Zurücklegen. \(P(\text{genau } 3\) Gewinnlose\()\)\(\frac{\binom{3}{3} \cdot \binom{8}{0}}{\binom{11}{3}}\) \(= \frac{1 \cdot 1}{165}\) \(= \frac{1}{165} \approx 0{,}0061\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Hypergeometrische Verteilung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Grundlagen zum Zählen: Kombinatorik und Binomialkoeffizient sowie das Urnenmodell nach Typen. Zwei oder drei Züge lassen sich auch mit dem Baumdiagramm rechnen. Exakte Tests mit dieser Verteilung: Fisher-Test.
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