Regressionsrechner
Gib Deine Wertepaare ein – die x-Werte in das erste Feld, die zugehörigen y-Werte in derselben Reihenfolge in das zweite. Der Rechner bestimmt die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, den Korrelationskoeffizienten $r$ und das Bestimmtheitsmaß $R^2$, zeichnet das Streudiagramm und zeigt die Arbeitstabelle. Gerechnet wird mit exakten Brüchen. Passt keine Gerade, wähle ein anderes Modell: Parabel, Exponential-, Potenz- oder Logarithmusfunktion.
So funktioniert die Berechnung
- Regressionsgerade $\hat{y} = m \cdot x + b$: die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten senkrechten Abstände (Residuen). Sie geht durch den Schwerpunkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$.
- Korrelationskoeffizient $r$ (nach Pearson): zwischen $-1$ und $1$; je näher $|r|$ an 1, desto enger liegen die Punkte an der Geraden.
- Bestimmtheitsmaß $R^2$: Anteil der Streuung der y-Werte, den die Gerade erklärt.
Ausführlich erklärt, mit Beispielen zu Kovarianz, Prognosen und der Frage „Korrelation oder Ursache?“, wird das auf der Seite Regression und Korrelation – dort kannst Du auch online üben. Mittelwert und Standardabweichung einer einzelnen Datenreihe liefert der Statistik-Rechner.
Nichtlineare Modelle
| Modell | so rechnet der Rechner | passt oft bei … |
|---|---|---|
| quadratisch $y = ax^2 + bx + c$ | kleinste Quadrate direkt: drei Normalgleichungen mit $\sum x^k$ und $\sum x^k y$, exakt gelöst | Wurfbahnen, Bremswegen, Kosten mit Minimum |
| exponentiell $y = a \cdot b^x$ | Gerade durch $(x \mid \ln y)$, dann $a = e^{\text{Achsenabschnitt}}$, $b = e^{\text{Steigung}}$ | Wachstum und Zerfall mit festem Faktor |
| Potenz $y = a \cdot x^b$ | Gerade durch $(\ln x \mid \ln y)$ | Flächen, Volumen, Fallzeiten |
| logarithmisch $y = a + b \cdot \ln x$ | Gerade durch $(\ln x \mid y)$ | Lernkurven, Sättigung |
Das Bestimmtheitsmaß $R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$ wird immer mit den ursprünglichen y-Werten berechnet, damit sich die Modelle vergleichen lassen: Je näher $R^2$ an 1 liegt, desto besser passt die Kurve. Beim Exponential- und Potenzmodell ist die gefundene Kurve die beste Gerade im logarithmierten Bild – nicht ganz dieselbe wie die mit den kleinsten Abweichungen im Originalbild. Wie Exponentialfunktionen funktionieren, steht unter Exponentialfunktionen.
Online üben
Bei mehreren gesuchten Werten trennst Du sie mit Semikolon, z. B. 3; 2 für $a = 3$ und $b = 2$. Gerundete Ergebnisse auf zwei bis drei Nachkommastellen genügen.
Stufe 2: Parameter aus exakten Daten
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Aufgabe 1
\((1 \mid 10),\) \((2 \mid 20),\) \((3 \mid 40),\) \((4 \mid 80):\) \(y = a \cdot b^x,\) \(a; b = ?\)\(a; b\)\(b = \frac{20}{10}\) \(= 2,\) \(a = 5:\ \ y = 5 \cdot 2^x\ \ (R^2 = 1)\)
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Aufgabe 2
\((1 \mid -4),\) \((e \mid 1),\) \((e^2 \mid 6):\) \(y = a + b \cdot \ln x,\) \(a; b = ?\)\(a; b\)\(a = y(1)\) \(= -4,\) \(b = 1 - (-4)\) \(= 5:\ \ y = -4 + 5 \ln x\)
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Aufgabe 3
\((1 \mid -3),\) \((e \mid -4),\) \((e^2 \mid -5):\) \(y = a + b \cdot \ln x,\) \(a; b = ?\)\(a; b\)\(a = y(1)\) \(= -3,\) \(b = -4 - (-3)\) \(= -1:\ \ y = -3 - 1 \ln x\)
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Aufgabe 4
\((0 \mid 48),\) \((1 \mid 24),\) \((2 \mid 12),\) \((3 \mid 6):\) \(y = a \cdot b^x,\) \(a; b = ?\)\(a; b\)\(b = \frac{24}{48}\) \(= 0{,}5,\) \(a = 48:\ \ y\) \(= 48 \cdot 0{,}5^x\ \ (R^2 = 1)\)
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Aufgabe 5
\((0 \mid 80),\) \((1 \mid 40),\) \((2 \mid 20),\) \((3 \mid 10):\) \(y = a \cdot b^x,\) \(a; b = ?\)\(a; b\)\(b = \frac{40}{80}\) \(= 0{,}5,\) \(a = 80:\ \ y\) \(= 80 \cdot 0{,}5^x\ \ (R^2 = 1)\)
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Aufgabe 6
\((1 \mid -2),\) \((e \mid -7),\) \((e^2 \mid -12):\) \(y = a + b \cdot \ln x,\) \(a; b = ?\)\(a; b\)\(a = y(1)\) \(= -2,\) \(b = -7 - (-2)\) \(= -5:\ \ y = -2 - 5 \ln x\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Regression: quadratisch, exponentiell, logarithmisch
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Weiterlesen: Methode der kleinsten Quadrate bei Wikipedia