Regressionsrechner
Gib Deine Wertepaare ein – die x-Werte in das erste Feld, die zugehörigen y-Werte in derselben Reihenfolge in das zweite. Der Rechner bestimmt die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, den Korrelationskoeffizienten $r$ und das Bestimmtheitsmaß $R^2$, zeichnet das Streudiagramm und zeigt die Arbeitstabelle. Gerechnet wird mit exakten Brüchen. Passt keine Gerade, wähle ein anderes Modell: Parabel, Exponential-, Potenz- oder Logarithmusfunktion.
So funktioniert die Berechnung
- Regressionsgerade $\hat{y} = m \cdot x + b$: die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten senkrechten Abstände (Residuen). Sie geht durch den Schwerpunkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$.
- Korrelationskoeffizient $r$ (nach Pearson): zwischen $-1$ und $1$; je näher $|r|$ an 1, desto enger liegen die Punkte an der Geraden.
- Bestimmtheitsmaß $R^2$: Anteil der Streuung der y-Werte, den die Gerade erklärt.
Ausführlich erklärt, mit Beispielen zu Kovarianz, Prognosen und der Frage „Korrelation oder Ursache?“, wird das auf der Seite Regression und Korrelation – dort kannst Du auch online üben. Mittelwert und Standardabweichung einer einzelnen Datenreihe liefert der Statistik-Rechner.
Nichtlineare Modelle
| Modell | so rechnet der Rechner | passt oft bei … |
|---|---|---|
| quadratisch $y = ax^2 + bx + c$ | kleinste Quadrate direkt: drei Normalgleichungen mit $\sum x^k$ und $\sum x^k y$, exakt gelöst | Wurfbahnen, Bremswegen, Kosten mit Minimum |
| exponentiell $y = a \cdot b^x$ | Gerade durch $(x \mid \ln y)$, dann $a = e^{\text{Achsenabschnitt}}$, $b = e^{\text{Steigung}}$ | Wachstum und Zerfall mit festem Faktor |
| Potenz $y = a \cdot x^b$ | Gerade durch $(\ln x \mid \ln y)$ | Flächen, Volumen, Fallzeiten |
| logarithmisch $y = a + b \cdot \ln x$ | Gerade durch $(\ln x \mid y)$ | Lernkurven, Sättigung |
Das Bestimmtheitsmaß $R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$ wird immer mit den ursprünglichen y-Werten berechnet, damit sich die Modelle vergleichen lassen: Je näher $R^2$ an 1 liegt, desto besser passt die Kurve. Beim Exponential- und Potenzmodell ist die gefundene Kurve die beste Gerade im logarithmierten Bild – nicht ganz dieselbe wie die mit den kleinsten Abweichungen im Originalbild. Wie Exponentialfunktionen funktionieren, steht unter Exponentialfunktionen.
Online üben
Bei mehreren gesuchten Werten trennst Du sie mit Semikolon, z. B. 3; 2 für $a = 3$ und $b = 2$. Gerundete Ergebnisse auf zwei bis drei Nachkommastellen genügen.
Stufe 3: Linearisieren mit ln
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Aufgabe 1
\(n = 6,\) \(\textstyle\sum u = 8{,}971,\) \(\sum xu = 24{,}205:\) \(a; k = ?\)\(a; k\)\(\textstyle\sum x = 15,\) \(\sum x^2 = 55;\) \(k = \frac{6 \cdot 24{,}205 - 15 \cdot 8{,}971}{6 \cdot 55 - 15^2}\) \(\approx 0{,}1016,\) \(a = e^{1{,}2412}\) \(\approx 3{,}46\)
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Aufgabe 2
\(n = 4,\) \(\textstyle\sum u = 3{,}415,\) \(\sum xu = 6{,}687:\) \(a; k = ?\)\(a; k\)\(\textstyle\sum x = 6,\) \(\sum x^2 = 14;\) \(k = \frac{4 \cdot 6{,}687 - 6 \cdot 3{,}415}{4 \cdot 14 - 6^2}\) \(\approx 0{,}3129,\) \(a = e^{0{,}3844}\) \(\approx 1{,}47\)
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Aufgabe 3
\(n = 6,\) \(\textstyle\sum u = 2{,}868,\) \(\sum xu = 1{,}503:\) \(a; k = ?\)\(a; k\)\(\textstyle\sum x = 15,\) \(\sum x^2 = 55;\) \(k = \frac{6 \cdot 1{,}503 - 15 \cdot 2{,}868}{6 \cdot 55 - 15^2}\) \(\approx -0{,}3238,\) \(a = e^{1{,}2876}\) \(\approx 3{,}62\)
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Aufgabe 4
\(n = 6,\) \(\textstyle\sum u = 21{,}986,\) \(\sum xu = 61{,}839:\) \(a; k = ?\)\(a; k\)\(\textstyle\sum x = 15,\) \(\sum x^2 = 55;\) \(k = \frac{6 \cdot 61{,}839 - 15 \cdot 21{,}986}{6 \cdot 55 - 15^2}\) \(\approx 0{,}3928,\) \(a = e^{2{,}6823}\) \(\approx 14{,}62\)
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Aufgabe 5
\(n = 5,\) \(\textstyle\sum u = 11{,}283,\) \(\sum xu = 23{,}956:\) \(a; k = ?\)\(a; k\)\(\textstyle\sum x = 10,\) \(\sum x^2 = 30;\) \(k = \frac{5 \cdot 23{,}956 - 10 \cdot 11{,}283}{5 \cdot 30 - 10^2}\) \(\approx 0{,}139,\) \(a = e^{1{,}9786}\) \(\approx 7{,}23\)
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Aufgabe 6
\(n = 6,\) \(\textstyle\sum u = 13{,}481,\) \(\sum xu = 38{,}917:\) \(a; k = ?\)\(a; k\)\(\textstyle\sum x = 15,\) \(\sum x^2 = 55;\) \(k = \frac{6 \cdot 38{,}917 - 15 \cdot 13{,}481}{6 \cdot 55 - 15^2}\) \(\approx 0{,}298,\) \(a = e^{1{,}5019}\) \(\approx 4{,}49\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Regression: quadratisch, exponentiell, logarithmisch
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Weiterlesen: Methode der kleinsten Quadrate bei Wikipedia