Simulation von Zufallsexperimenten
Manche Wahrscheinlichkeiten kann man nicht ausrechnen – wie oft landet eine Reißzwecke auf dem Rücken? Andere sind so verzwickt, dass selbst Erwachsene falsch tippen. Dann hilft ein Trick: Man wiederholt das Experiment sehr oft, echt oder am Computer, und zählt mit.
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit
Wird ein Zufallsexperiment $n$-mal durchgeführt und tritt ein Ereignis dabei $k$-mal ein, dann ist $k$ die absolute und
die relative Häufigkeit. Sie liegt immer zwischen 0 und 1 und lässt sich auch in Prozent angeben.
Wirft man einen Würfel nur zwölfmal, kann die Sechs durchaus fünfmal oder gar nicht fallen. Je länger man aber würfelt, desto ruhiger wird die Kurve der relativen Häufigkeit – sie pendelt sich in der Nähe von $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ ein. Das Bild zeigt drei solche Versuchsreihen mit je 600 Würfen:
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Bei sehr vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses. Der Wert, um den sie schwankt, ist eine gute Schätzung für die Wahrscheinlichkeit. Bei wenigen Versuchen sind dagegen auch große Abweichungen ganz normal.
Der Simulator
Statt selbst tausendmal zu würfeln, lässt Du hier den Computer würfeln, Münzen werfen oder Kugeln ziehen. Beobachte, wie die Kurve am Anfang springt und später kaum noch zuckt. Mit dem Häkchen zeichnest Du die berechnete Wahrscheinlichkeit zum Vergleich ein.
Simulator: Zufallsexperimente am Computer
Wahrscheinlichkeiten schätzen
Beispiel: die Reißzwecke
Eine Reißzwecke kann auf dem Kopf (Spitze nach oben) oder schräg auf der Seite landen. Weil sie nicht symmetrisch ist, gibt es keine Laplace-Regel. Eine Klasse wirft 20 Reißzwecken je 25-mal, also 500 Würfe, und zählt 312-mal „Kopf“:
Als Wahrscheinlichkeit nimmt man deshalb etwa $P(\text{Kopf}) \approx 0{,}62$. Bei 1000 weiteren Würfen erwartet man dann ungefähr $1000 \cdot 0{,}62 = 620$-mal Kopf. Im Simulator ist die Reißzwecke bei jedem Seitenaufruf ein bisschen anders – finde ihre Wahrscheinlichkeit selbst heraus.
Eine Simulation planen
Für eine Simulation brauchst Du ein Zufallsgerät, bei dem die Treffer genau die richtige Wahrscheinlichkeit haben. Gut geeignet sind Münze, Würfel und Zufallsziffern 0 bis 9 (aus einer Tabelle, vom Taschenrechner oder einer Tabellenkalkulation).
| Wahrscheinlichkeit | Zufallsgerät | Treffer, wenn … |
|---|---|---|
| $\frac{1}{2}$ | Münze | Zahl oben liegt |
| $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$ | Würfel | z. B. eine 6 bzw. 5 oder 6 bzw. gerade Zahl fällt |
| 0,1 · k (z. B. 0,7) | eine Zufallsziffer | die Ziffer zu k festgelegten Ziffern gehört, z. B. 0 bis 6 |
| 0,01 · k (z. B. 0,35) | zwei Ziffern als Zahl 00 bis 99 | die Zahl kleiner als k ist, z. B. 00 bis 34 |
Beispiel: drei Freiwürfe
Ida trifft 70 % ihrer Freiwürfe. Wie wahrscheinlich trifft sie bei drei Würfen alle drei?
- Modell: Eine Zufallsziffer ist ein Wurf. Die Ziffern 0 bis 6 bedeuten Treffer, 7 bis 9 daneben.
- Ein Durchgang: Je drei Ziffern hintereinander sind drei Würfe, z. B. 3 5 8 = Treffer, Treffer, daneben.
- Viele Durchgänge: 200 Dreiergruppen auswerten und zählen, wie oft alle drei Ziffern höchstens 6 sind.
- Auswerten: Ergibt das z. B. 71 Treffer-Gruppen, schätzt man $P \approx \frac{71}{200} \approx 0{,}36$.
Zum Vergleich mit dem Baumdiagramm: $0{,}7^3 = 0{,}343$. Die Simulation liegt also nahe dran.
Drei berühmte Simulationen
Das Ziegenproblem
Hinter einer von drei Türen steht ein Auto, hinter den anderen beiden je eine Ziege. Du wählst eine Tür. Der Moderator, der alles weiß, öffnet danach eine der anderen Türen mit einer Ziege und bietet Dir an zu wechseln. Viele meinen, es sei egal. Die Simulation zeigt aber deutlich: Wer wechselt, gewinnt in etwa zwei Dritteln der Spiele. Der Grund: Die erste Wahl ist nur in $\frac{1}{3}$ der Fälle richtig – und genau dann verliert man durch das Wechseln.
Das Geburtstagsproblem
Wie viele Personen braucht man, damit zwei mit hoher Wahrscheinlichkeit am selben Tag Geburtstag haben? Erstaunlich wenige: Schon bei 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit über 50 %. Rechnen kann man es über das Gegenereignis „alle haben verschiedene Geburtstage“:
π mit Zufallspunkten (Monte-Carlo-Methode)
Man wirft zufällige Punkte in ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. Der Viertelkreis mit Radius 1 nimmt $\frac{\pi}{4}$ der Fläche ein. Also landet ungefähr dieser Anteil der Punkte im Viertelkreis:
Alle drei Experimente kannst Du im Simulator oben auswählen.
Typische Fehler
- Zu wenige Versuche: Aus 10 Würfen lässt sich keine Wahrscheinlichkeit ablesen – die relative Häufigkeit schwankt dann noch stark.
- „Jetzt ist die Sechs mal dran“: Würfel und Münze haben kein Gedächtnis. Nach fünfmal Kopf ist Zahl genauso wahrscheinlich wie vorher.
- Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit verwechselt: Die relative Häufigkeit gehört zu einer bestimmten Versuchsreihe und ändert sich von Reihe zu Reihe, die Wahrscheinlichkeit nicht.
- Falsches Zufallsgerät: Für $p = 0{,}7$ müssen genau 7 der 10 Ziffern als Treffer zählen, nicht 6 oder 8.
Im Lehrplan: Simulationen und das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten über relative Häufigkeiten gehören zu den KMK-Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss. In Niedersachsen beginnt das schon ab Jahrgang 6, in Hessen in Klasse 8; am bayerischen Gymnasium kommen in Klasse 10 Ziegen- und Geburtstagsproblem sowie die Monte-Carlo-Methode dazu.
Online üben
Relative Häufigkeiten gibst Du als Dezimalzahl ein (z. B. 0,62), erwartete Anzahlen als ganze Zahl.
Stufe 2: erwartete Anzahl schätzen
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Aufgabe 1
Nach sehr vielen Würfen mit ein Plastikhütchen weiß man: Das Ergebnis „auf der Spitze“ tritt mit der relativen Häufigkeit 0,55 ein. Wie oft erwartest Du dieses Ergebnis bei 1000 Würfen?mal1000 · 0,55 = 550
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Aufgabe 2
Ein fairer Würfel wird 600-mal geworfen. Wie oft erwartest Du ungefähr eine Sechs?mal600 · 1/6 = 100
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Aufgabe 3
Nach sehr vielen Würfen mit eine Reißzwecke weiß man: Das Ergebnis „auf dem Kopf (Spitze nach oben)“ tritt mit der relativen Häufigkeit 0,6 ein. Wie oft erwartest Du dieses Ergebnis bei 400 Würfen?mal400 · 0,6 = 240
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Aufgabe 4
Nach sehr vielen Würfen mit eine Streichholzschachtel weiß man: Das Ergebnis „auf der großen Fläche“ tritt mit der relativen Häufigkeit 0,55 ein. Wie oft erwartest Du dieses Ergebnis bei 200 Würfen?mal200 · 0,55 = 110
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Aufgabe 5
Nach sehr vielen Würfen mit einen Becher weiß man: Das Ergebnis „auf der Seite“ tritt mit der relativen Häufigkeit 0,55 ein. Wie oft erwartest Du dieses Ergebnis bei 100 Würfen?mal100 · 0,55 = 55
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Aufgabe 6
In einer Urne liegen 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 120-mal mit Zurücklegen gezogen. Wie oft erwartest Du ungefähr Rot?mal120 · 2/6 = 40
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Simulation und relative Häufigkeit
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–10.
Strichliste und Häufigkeitstabelle: absolute und relative Häufigkeit. Berechnen statt simulieren: Laplace-Wahrscheinlichkeit und Pfadregeln. Für die Grundschule: sicher, möglich, unmöglich.
Weiterlesen: Empirisches Gesetz der großen Zahlen, Monte-Carlo-Simulation bei Wikipedia