Stetige Zufallsgrößen
Wie lange wartest Du an der Supermarktkasse? Wie schwer ist ein zufällig gegriffener Apfel? Solche Größen können jeden Wert aus einem ganzen Bereich annehmen, nicht nur 1, 2 oder 3. Für sie rechnet man nicht mit einzelnen Wahrscheinlichkeiten, sondern mit Flächen unter einer Kurve – der Dichtefunktion.
Diskret oder stetig?
Beim Würfeln gibt es nur sechs mögliche Ergebnisse, jedes hat seine eigene Wahrscheinlichkeit. Eine Wartezeit kann dagegen 2 Minuten sein, 2,1 oder 2,13 Minuten – zwischen zwei Werten liegen immer unendlich viele weitere. Die Wahrscheinlichkeit, genau 2,000… Minuten zu warten, ist deshalb 0. Sinnvoll sind nur Fragen nach Bereichen: Wie wahrscheinlich sind zwischen 2 und 3 Minuten?
| diskrete Zufallsgröße | stetige Zufallsgröße | |
|---|---|---|
| Werte | einzelne Werte, z. B. 0, 1, 2, … | alle Zahlen aus einem Intervall |
| beschrieben durch | Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X = k)$ | Dichtefunktion $f$ |
| $P(X = a)$ | kann größer als 0 sein | immer 0 |
| $P(a \le X \le b)$ | Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten | Fläche: $\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Erwartungswert | $\sum x_i \cdot P(X = x_i)$ | $\int x \cdot f(x)\,dx$ |
Wahrscheinlichkeit als Fläche
Wartezeit X an einer Hotline in Minuten, exponentialverteilt mit λ = 0,25 (im Mittel 4 Minuten).
P(2 ≤ X ≤ 6) = e^(−0,5) − e^(−1,5) ≈ 0,3834
Schiebe c und d zusammen: Je schmaler der Streifen, desto kleiner die Fläche. Für c = d ist sie 0 – ein einzelner Wert hat bei einer stetigen Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit 0.
Dichtefunktion
Bedingungen für eine Dichtefunktion
- $f(x) \ge 0$ für alle $x$ – die Kurve liegt nie unter der x-Achse.
- Die gesamte Fläche unter dem Graphen ist 1: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$.
Dann ist $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$. Meist ist $f$ nur auf einem Intervall $[a; b]$ von null verschieden – außerhalb ist $f(x) = 0$, und man integriert nur über $[a; b]$.
Ein Funktionswert $f(x)$ ist selbst keine Wahrscheinlichkeit. Er darf sogar größer als 1 sein: $f(x) = 2$ auf $[0; 0{,}5]$ ist eine Dichte, denn die Fläche ist $2 \cdot 0{,}5 = 1$. Erst die Fläche über einem Bereich ist eine Wahrscheinlichkeit. Weil ein einzelner Punkt keine Fläche hat, ist es bei stetigen Zufallsgrößen auch egal, ob $\le$ oder $<$ dasteht.
Beispiel: k bestimmen und eine Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Funktion $f(x) = k \cdot x \cdot (4 - x)$ für $0 \le x \le 4$ (sonst 0) soll eine Dichtefunktion sein.
1. k bestimmen: $\int_0^4 k\,(4x - x^2)\,dx = k \left[2x^2 - \tfrac{x^3}{3}\right]_0^4 = k \cdot \left(32 - \tfrac{64}{3}\right) = \tfrac{32}{3}\,k$. Aus $\tfrac{32}{3}\,k = 1$ folgt $k = \tfrac{3}{32}$. Für $0 \le x \le 4$ ist $x(4 - x) \ge 0$, also ist $f$ nie negativ.
2. Wahrscheinlichkeit: $P(1 \le X \le 3) = \tfrac{3}{32}\left[2x^2 - \tfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = \tfrac{3}{32}\left(9 - \tfrac{5}{3}\right) = \tfrac{3}{32} \cdot \tfrac{22}{3} = \tfrac{11}{16} \approx 0{,}69$.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion $F$ gibt für jede Stelle an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, höchstens diesen Wert zu erhalten:
$F$ steigt von 0 auf 1 und fällt nie. Leitet man $F$ ab, erhält man wieder die Dichte: $F'(x) = f(x)$. Im Beispiel ist $F(x) = \tfrac{3}{32}\left(2x^2 - \tfrac{x^3}{3}\right) = \tfrac{6x^2 - x^3}{32}$ für $0 \le x \le 4$, links davon 0, rechts davon 1. Probe: $F(4) = \tfrac{96 - 64}{32} = 1$.
Erwartungswert, Varianz und Median
Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Fläche unter der Dichte: Würde man sie aus Pappe ausschneiden, läge sie dort im Gleichgewicht. Der Median $\tilde{x}$ teilt die Fläche dagegen in zwei gleich große Hälften. Bei symmetrischen Dichten fallen beide zusammen, sonst nicht.
Beispiel (Fortsetzung)
Die Dichte $\tfrac{3}{32}\,x(4 - x)$ ist symmetrisch zu $x = 2$, also ist $E(X) = 2$ und auch der Median ist 2. Für die Varianz: $\int_0^4 x^2 \cdot \tfrac{3}{32}(4x - x^2)\,dx = \tfrac{3}{32}\left[x^4 - \tfrac{x^5}{5}\right]_0^4 = \tfrac{3}{32} \cdot \tfrac{256}{5} = \tfrac{24}{5}$. Damit ist $V(X) = \tfrac{24}{5} - 2^2 = \tfrac{4}{5}$ und $\sigma \approx 0{,}89$.
Stetige Gleichverteilung
Ist jeder Wert aus $[a; b]$ gleich wahrscheinlich, ist die Dichte dort konstant. Damit die Rechteckfläche 1 ist, muss die Höhe $\frac{1}{b - a}$ sein:
Beispiel
Ein Bus fährt alle 20 Minuten, Du kommst zu einem zufälligen Zeitpunkt. Die Wartezeit ist gleichverteilt auf $[0; 20]$. Höchstens 5 Minuten wartest Du mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{20} = 25\,\%$, im Mittel 10 Minuten.
Exponentialverteilung
Wartezeiten bis zum nächsten Anruf, Lebensdauern von Bauteilen ohne Verschleiß oder die Zeit bis zum Zerfall eines Atoms beschreibt man oft mit der Exponentialverteilung. Der Parameter $\lambda$ ist die mittlere Zahl der Ereignisse pro Zeiteinheit:
Beispiel
Ein Bauteil hält im Mittel 8 Jahre, also $\lambda = \frac{1}{8}$. Länger als 10 Jahre hält es mit der Wahrscheinlichkeit $P(X > 10) = e^{-10/8} \approx 0{,}29$, höchstens 2 Jahre mit $1 - e^{-2/8} \approx 0{,}22$. Die Hälfte aller Bauteile fällt schon vor $8 \cdot \ln 2 \approx 5{,}5$ Jahren aus.
Eine Besonderheit ist die Gedächtnislosigkeit: Hat ein Bauteil schon 5 Jahre gehalten, ist die Wahrscheinlichkeit, noch weitere 10 Jahre zu halten, genauso groß wie für ein neues. Für echte Geräte mit Verschleiß passt das Modell deshalb nur eingeschränkt.
Und die Normalverteilung?
Die bekannteste stetige Verteilung ist die Normalverteilung mit der Gaußschen Glockenkurve als Dichte. Auch dort ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche – nur lässt sich das Integral nicht mit einer Stammfunktion ausrechnen. Deshalb nimmt man Tabellen oder den Taschenrechner.
Typische Fehler
- Funktionswert als Wahrscheinlichkeit gelesen: $f(2) = 0{,}375$ heißt nicht, dass $X = 2$ mit 37,5 % eintritt – das ist 0.
- Nur eine Bedingung geprüft: Fläche 1 reicht nicht, $f$ darf auch nirgends negativ sein.
- Über den Rand hinaus integriert: Außerhalb von $[a; b]$ ist $f(x) = 0$, der Funktionsterm gilt dort nicht.
- Bei der Varianz $\mu^2$ vergessen: $\int x^2 f(x)\,dx$ ist erst $E(X^2)$.
Online üben
Brüche wie 3/32 oder Dezimalzahlen sind erlaubt. Runde auf vier Nachkommastellen.
Stufe 3: Erwartungswert, Median, Exponentialverteilung
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Aufgabe 1
Die Wartezeit X (in Minuten) an einem Schalter ist exponentialverteilt mit λ = 0,1. Berechne P(X > 6).P(X > 6) = e^(−0,6) ≈ 0,5488
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Aufgabe 2
X hat die Dichte f(x) = 2x/81 für 0 ≤ x ≤ 9 (sonst 0). Berechne E(X).E(X) = Integral über x · f(x) = [2x³/243] = 2 · 9/3 ≈ 6
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Aufgabe 3
Die Lebensdauer eines Bauteils (in Jahren) ist exponentialverteilt mit Erwartungswert 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens 5 Jahre hält?λ = 1/4, P(X ≤ 5) = 1 − e^(−1,25) ≈ 0,7135
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Aufgabe 4
Die Wartezeit X (in Minuten) an einem Schalter ist exponentialverteilt mit λ = 0,1. Berechne P(X > 10).P(X > 10) = e^(−1) ≈ 0,3679
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Aufgabe 5
X hat die Dichte f(x) = 2x/25 für 0 ≤ x ≤ 5 (sonst 0). Bestimme den Median m, also F(m) = 0,5.F(x) = x²/25 = 0,5, also m = 5/√2 ≈ 3,5355
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Aufgabe 6
Die Lebensdauer eines Bauteils (in Jahren) ist exponentialverteilt mit Erwartungswert 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens 3 Jahre hält?λ = 1/2, P(X ≤ 3) = 1 − e^(−1,5) ≈ 0,7769
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Stetige Zufallsgrößen und Dichtefunktionen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Flächen unter Graphen berechnen: Integralrechnung und Integralrechner. Die diskreten Gegenstücke findest Du bei Erwartungswert und Zufallsgrößen.
Weiterlesen: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Exponentialverteilung bei Wikipedia