Definitheit von Matrizen
Ob eine Funktion mehrerer Variablen im kritischen Punkt ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattel hat, entscheidet die Definitheit ihrer Hesse-Matrix. Dahinter steckt eine einfache Frage: Ist der Ausdruck $\vec v^{\mathsf T} A\,\vec v$ für alle Vektoren $\vec v \ne \vec 0$ positiv, negativ – oder mal so, mal so?
Quadratische Form und Definitheit
Zu einer symmetrischen $n \times n$-Matrix $A$ gehört die quadratische Form $q(\vec v) = \vec v^{\mathsf T} A\,\vec v$. Für $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ ist $q(x, y) = a x^2 + 2b\,xy + c\,y^2$.
| A heißt … | wenn für alle $\vec v \ne \vec 0$ gilt | Eigenwerte |
|---|---|---|
| positiv definit | $q(\vec v) > 0$ | alle $> 0$ |
| negativ definit | $q(\vec v) < 0$ | alle $< 0$ |
| positiv semidefinit | $q(\vec v) \ge 0$ | alle $\ge 0$, mindestens einer $= 0$ |
| negativ semidefinit | $q(\vec v) \le 0$ | alle $\le 0$, mindestens einer $= 0$ |
| indefinit | $q$ nimmt positive und negative Werte an | positive und negative |
Negativ definite Formen sehen aus wie positiv definite, nur auf dem Kopf: Ellipsen um einen „Gipfel“.
Kriterium der Hauptminoren (Sylvester)
Die führenden Hauptminoren $D_1, D_2, \ldots, D_n$ sind die Determinanten der linken oberen $1\times 1$-, $2\times 2$-, …, $n\times n$-Teilmatrizen.
Kriterium von Sylvester (für symmetrische A)
- A positiv definit $\iff$ $D_1 > 0,\ D_2 > 0,\ \ldots,\ D_n > 0$.
- A negativ definit $\iff$ die Vorzeichen wechseln, beginnend mit minus: $D_1 < 0,\ D_2 > 0,\ D_3 < 0,\ \ldots$
- Ist $D_n = \det A \ne 0$ und passt keines der beiden Muster, ist A indefinit.
- Ist ein $D_k = 0$, entscheiden die Eigenwerte (oder alle Hauptminoren, nicht nur die führenden).
Abkürzung für 2×2-Matrizen
Für $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$: Ist $\det A = ac - b^2 > 0$, dann ist A definit – positiv bei $a > 0$, negativ bei $a < 0$. Ist $\det A < 0$, ist A indefinit. Bei $\det A = 0$ ist A semidefinit (oder die Nullmatrix).
Beispiel 1: 3×3, positiv definit
$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$: $D_1 = 2$, $D_2 = 4 - 1 = 3$, $D_3 = 2\cdot 3 - (-1)\cdot(-2) + 0 = 4$. Alle positiv – A ist positiv definit. (Die Eigenwerte sind $2 - \sqrt2$, $2$ und $2 + \sqrt2$, alle positiv.)
Beispiel 2: indefinit schon nach zwei Minoren
$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$: $D_1 = 1 > 0$, aber $D_2 = 1 - 4 = -3 < 0$. Für positiv definit müsste $D_2 > 0$ sein, für negativ definit $D_1 < 0$ – also ist B indefinit. Tatsächlich ist $q(1, -1, 0) = 1 - 4 + 1 = -2$, aber $q(1, 1, 0) = 6$.
Hesse-Matrix: Extrema einordnen
Ist $P$ ein kritischer Punkt von $f$ (alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind dort 0), dann entscheidet die Hesse-Matrix $H_f(P)$ der zweiten Ableitungen:
| $H_f(P)$ ist … | f hat in P … |
|---|---|
| positiv definit | ein lokales Minimum |
| negativ definit | ein lokales Maximum |
| indefinit | einen Sattelpunkt |
| semidefinit (ein Eigenwert 0) | keine Entscheidung möglich – genauer untersuchen |
Beispiel 3: f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y
$f_x = 3x^2 - 3 = 0$ und $f_y = 2y - 2 = 0$ ergeben die kritischen Punkte $(1 \mid 1)$ und $(-1 \mid 1)$. Die Hesse-Matrix ist $H_f = \begin{pmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
In $(1 \mid 1)$: $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ ist positiv definit – lokales Minimum. In $(-1 \mid 1)$: $\begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ ist indefinit – Sattelpunkt.
Beispiel 4: drei Variablen
$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + xy - yz$ hat nur den kritischen Punkt $(0 \mid 0 \mid 0)$. Hesse-Matrix: $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}$ mit $D_1 = 2$, $D_2 = 3$, $D_3 = 4$ – positiv definit, also ein lokales (hier sogar globales) Minimum.
Definitheits-Rechner
Ergebnis
Die 3×3-Matrix ist <strong>indefinit</strong>.
Indefinit
Rechenweg
Führende Hauptminoren (Sylvester-Kriterium)
Die Determinanten der linken oberen Teilmatrizen:
\[D_1 = 1\quad (> 0)\]\[D_2 = \det\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = -3\quad (< 0)\]\[D_3 = \det\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} = -9\quad (< 0)\]Kein Minor ist 0, aber das Vorzeichenmuster passt weder zu „alle positiv“ noch zu „abwechselnd, mit minus beginnend“. Dann ist die Matrix indefinit.
Kontrolle über die Eigenwerte
Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte positiv (negativ) sind; Eigenwerte beider Vorzeichen bedeuten indefinit, Eigenwerte 0 neben gleichen Vorzeichen semidefinit.
\[\det(A - \lambda E) = -\lambda ^{3} + 5\,\lambda ^{2} - 3\,\lambda - 9\]\[\lambda \in \{3\ (\text{2-fach});\ -1\}\quad (\approx -1;\ 3;\ 3)\]Quadratische Form
Ausgeschrieben lautet die quadratische Form $q(\vec v) = \vec v^{\mathsf T} A\,\vec v$:
\[q(x, y, z) = 3\,z^{2} + y^{2} + 4\,x\,y + x^{2}\]
Typische Fehler
- Nur auf die Diagonale schauen: Positive Diagonaleinträge reichen nicht – $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ist indefinit.
- Sylvester bei $D_k = 0$: Dann sagen die führenden Minoren nichts über Semidefinitheit; nimm die Eigenwerte.
- Negativ definit falsch geprüft: Nicht „alle Minoren negativ“, sondern abwechselnd: $D_1 < 0$, $D_2 > 0$, $D_3 < 0$, …
- Hesse-Matrix außerhalb eines kritischen Punkts: Ohne $\nabla f = \vec 0$ gibt es dort kein Extremum, egal wie die Matrix aussieht.
Online üben: Definitheit
Stufe 1: 2×2 einordnen
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Aufgabe 1
\(A = \begin{pmatrix}-4 & -2 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -4,\) \(\det A = 4 - 4 = 0\) \(\Rightarrow\) negativ semidefinit
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Aufgabe 2
\(A = \begin{pmatrix}-5 & -1 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -5,\) \(\det A = 15 - 1 = 14\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 3
\(A = \begin{pmatrix}-4 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -4,\) \(\det A = 4 - 1 = 3\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 4
\(A = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -2,\) \(\det A = 2 - 1 = 1\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 5
\(A = \begin{pmatrix}-6 & -1 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -6,\) \(\det A = 18 - 1 = 17\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 6
\(A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 2 & 6\end{pmatrix}\)\(a_{11} = 3,\) \(\det A = 18 - 4 = 14\) \(\Rightarrow\) positiv definit
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Definitheit und Hesse-Matrix
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Kritische Punkte sucht der Rechner für mehrere Variablen (Modus Extrema); die Theorie dazu steht unter Extremwerte mit mehreren Variablen. Eigenwerte allein berechnet der Eigenwert-Rechner; Extrema unter Nebenbedingungen findest Du mit dem Lagrange-Rechner.
Weiterlesen: Definitheit, Hauptminor bei Wikipedia