Menü
Kl. 8Kl. 9Kl. 10

Bruchterm-Rechner

Gib einen Bruchterm ein – einen einzelnen Bruch zum Kürzen, eine Summe oder Differenz, ein Produkt, einen Quotienten oder einen Doppelbruch. Der Rechner bestimmt die Definitionsmenge, zerlegt in Faktoren, bildet den Hauptnenner und kürzt. Jeder Schritt wird angezeigt.

Neu

Schreibweise: Bruchstrich als /, Zähler und Nenner in Klammern, z. B. (x+1)/(x-2). Malpunkt als * (2x geht auch), Hochzahlen mit ^ (x^2). Mit „:“ teilst Du durch den ganzen folgenden Bruch: (x^2-9)/(4x) : (x+3)/(2x). Dezimalzahlen mit Komma. Erlaubt sind bis zu drei Variablen (einzelne Buchstaben).

Beispiele: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ kürzen $\frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$ $\frac{x}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2}$ $\frac{x^2 - 9}{4x} : \frac{x + 3}{2x}$ $\frac{2x + 4}{x^2 - 4} \cdot \frac{x - 2}{6x}$ Doppelbruch $\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}$ $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$

Ergebnis

Der Bruchterm, so weit wie möglich gekürzt:

\[\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 2\,a\,b + b^{2}} = \frac{a - b}{a + b}\]
\[a + b \neq 0\]
Zum Rechenweg

Die Definitionsmenge ändert sich durch das Kürzen nicht: Was beim ursprünglichen Term verboten ist, bleibt verboten – auch wenn der gekürzte Term dort einen Wert hätte.

Rechenweg

  1. Definitionsmenge

    Setze jeden Nenner gleich 0 – am einfachsten in Faktoren zerlegt. Kein Nenner darf 0 werden. Bei mehreren Variablen schreibt man die Bedingungen einzeln auf.

    \[a + b \neq 0\]

  2. Zähler und Nenner faktorisieren

    Kürzen darfst Du nur Faktoren. Deshalb schreibst Du Zähler und Nenner zuerst als Produkte.

    \[\text{Zähler: } a^{2} - b^{2} = \left(a + b\right)\left(a - b\right)\quad\text{(3. binomische Formel)}\]
    \[\text{Nenner: } a^{2} + 2\,a\,b + b^{2} = \left(a + b\right)^{2}\quad\text{(1. bzw. 2. binomische Formel)}\]

  3. Kürzen

    Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Faktor $a + b$. Streiche ihn oben und unten.

    \[\frac{\left(a + b\right)\left(a - b\right)}{\left(a + b\right)^{2}} = \frac{a - b}{a + b}\]

So rechnet der Rechner

  1. Definitionsmenge: Jeder Nenner wird in Faktoren zerlegt. Die Nullstellen dieser Faktoren sind verboten. Bei einer Division durch einen Bruch ist auch die Nullstelle seines Zählers verboten.
  2. Einzelner Bruch: Zähler und Nenner werden faktorisiert – durch Ausklammern, mit einer binomischen Formel oder über die Nullstellen. Gemeinsame Faktoren werden gestrichen.
  3. Summe oder Differenz: Aus den zerlegten Nennern entsteht der Hauptnenner. Jeder Bruch wird passend erweitert, die Zähler werden zusammengefasst und das Ergebnis, wenn möglich, gekürzt.
  4. Produkt, Quotient, Doppelbruch: Teilen wird zu Malnehmen mit dem Kehrwert. Alles kommt auf einen Bruchstrich, in Faktoren zerlegt – und wird gekürzt, bevor etwas ausmultipliziert wird.

Das Faktorisieren und den größten gemeinsamen Teiler von Polynomen berechnet das Computeralgebrasystem Maxima. Zur Sicherheit vergleicht der Rechner das Ergebnis an mehreren Stellen mit dem eingegebenen Term.

Anzeige

Wie man Bruchterme von Hand kürzt und zusammenfasst, mit Kürz-Trainer und Übungen, steht bei den Bruchtermen. Gleichungen mit $x$ im Nenner löst Du bei den Bruchgleichungen. Gewöhnliche Brüche ohne Variable rechnet der Bruchrechner.

Passt dazu

ErklärungBruchterme – Definitionsmenge, kürzen, erweitern und rechnenVerbotene Zahlen bestimmen, mit Ausklammern und binomischen Formeln kürzen, Hauptnenner finden, addieren, multiplizieren, Doppelbrüche – mit Kürz-Trainer.Klasse 8–9 · Terme & GleichungenErklärungBruchgleichungen lösen – Definitionsmenge, Hauptnenner, ProbeGleichungen mit x im Nenner – verbotene Zahlen bestimmen, mit dem Hauptnenner malnehmen, lösen und prüfen.Klasse 8–10 · Terme & GleichungenErklärungTerme vereinfachen und zusammenfassenWas ist ein Term, was sind gleichartige Glieder – und wie fasst Du sie richtig zusammen?Klasse 7–8 · Terme & GleichungenErklärungKlammern auflösen, ausmultiplizieren und ausklammernDistributivgesetz, Minusklammer, zwei Klammern malnehmen und gemeinsame Faktoren ausklammern.Klasse 7–8 · Terme & GleichungenErklärungDie drei binomischen Formeln erklärtDie drei binomischen Formeln, wofür man sie braucht und wie man sie anwendet.Klasse 8–9 · Terme & GleichungenRechnerBinomische Formeln Rechner mit RechenwegErkennt die passende binomische Formel und rechnet sie aus – auch mit Variablen.Klasse 8–9 · Terme & Gleichungen
Anzeige