Lineare Abbildungen mit Matrizen
Drehen, Spiegeln, Strecken – all das lässt sich mit einer einzigen 2×2-Matrix ausdrücken. Ein Computer macht es genauso, wenn er ein Bild dreht oder verzerrt: Er multipliziert jeden Punkt mit einer Matrix.
Matrix mal Vektor
Eine Abbildung, die jeden Punkt $P(x \mid y)$ nach der Vorschrift $x' = ax + by$ und $y' = cx + dy$ auf einen Bildpunkt $P'(x' \mid y')$ abbildet, heißt lineare Abbildung. Kurz schreibt man sie mit einer Matrix:
Beispiel: Mit $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ wird $P(1 \mid 2)$ zu $P'(2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \mid 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2) = P'(4 \mid 2)$. Der Ursprung bleibt bei jeder linearen Abbildung, wo er ist – eine Verschiebung ist deshalb keine lineare Abbildung.
Der wichtigste Trick
Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren: Die erste Spalte zeigt, wohin $\vec{e}_1 = (1 \mid 0)$ abgebildet wird, die zweite, wohin $\vec{e}_2 = (0 \mid 1)$ wandert. Wer die Bilder dieser beiden Pfeile kennt, kann die Matrix sofort aufschreiben.
Wichtige Abbildungsmatrizen
| Abbildung | Matrix |
|---|---|
| Drehung um den Ursprung um φ (gegen den Uhrzeigersinn) | $\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$ |
| Spiegelung an der x-Achse | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ |
| Spiegelung an der y-Achse | $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| Spiegelung an der Geraden $y = x$ | $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ |
| Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigungswinkel α | $\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}$ |
| zentrische Streckung am Ursprung mit Faktor k | $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ |
| Streckung nur in x-Richtung (Faktor k) | $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| Scherung in x-Richtung | $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| senkrechte Projektion auf die x-Achse | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ |
Jede Zeile der Tabelle kannst Du mit dem Trick von oben selbst herleiten. Bei der Drehung um 90° wandert $\vec{e}_1$ nach $(0 \mid 1)$ und $\vec{e}_2$ nach $(-1 \mid 0)$ – das sind genau die Spalten von $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Die Determinante als Flächenfaktor
Merke
Eine lineare Abbildung mit der Matrix M multipliziert jeden Flächeninhalt mit $|\det M| = |ad - bc|$.
- $\det M > 0$: Der Umlaufsinn bleibt erhalten (z. B. Drehung, Streckung).
- $\det M < 0$: Der Umlaufsinn kehrt sich um – die Figur wird gespiegelt.
- $\det M = 0$: Alles landet auf einer Geraden, Flächen verschwinden. Die Abbildung lässt sich nicht rückgängig machen.
Im Bild oben ist $\det M = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2$: Aus dem Einheitsquadrat mit der Fläche 1 wird ein Parallelogramm mit der Fläche 2. Drehungen haben immer die Determinante 1, Spiegelungen −1.
Verkettung: zwei Abbildungen nacheinander
Wird zuerst mit A und danach mit B abgebildet, gilt $\vec{x}'' = B \cdot (A \cdot \vec{x}) = (B \cdot A) \cdot \vec{x}$. Die Matrix der Verkettung ist also $B \cdot A$ – die Abbildung, die zuletzt kommt, steht links.
Beispiel: Reihenfolge zählt
Erst Drehung um 90° ($A$), dann Spiegelung an der x-Achse ($B$):
Das ist die Spiegelung an der Geraden $y = -x$. In umgekehrter Reihenfolge erhält man $A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, die Spiegelung an $y = x$ – ein anderes Ergebnis.
Umkehrabbildung, Fixpunkte und Fixgeraden
Ist $\det M \neq 0$, macht die inverse Matrix $M^{-1}$ die Abbildung rückgängig. Bei einer Drehung um φ ist das die Drehung um −φ, eine Spiegelung ist ihre eigene Umkehrung. Punkte, die an ihrem Platz bleiben, heißen Fixpunkte; Geraden durch den Ursprung, die auf sich selbst abgebildet werden, heißen Fixgeraden. Ihre Richtungen sind die Eigenvektoren der Matrix – mehr dazu bei Eigenwerten und Eigenvektoren.
Typische Fehler
- Zeilen und Spalten vertauscht: Die Bilder von $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ kommen in die Spalten, nicht in die Zeilen.
- Reihenfolge bei der Verkettung: „Erst A, dann B“ ist $B \cdot A$. Matrizen darf man nicht einfach vertauschen.
- Taschenrechner im Bogenmaß: Für Drehwinkel in Grad muss DEG eingestellt sein.
- Verschiebung als Matrix: Eine Verschiebung lässt sich nicht als 2×2-Matrix schreiben – sie braucht die Addition eines Vektors.
Online üben
Bildpunkte gibst Du als (4|-1) ein, Matrizen zeilenweise mit Semikolon, z. B. 0; -1; 1; 0.
Stufe 2: Matrix, Determinante, Abbildung erkennen
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Aufgabe 1
\(\vec{e}_1 \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix},\) \(\vec{e}_2 \mapsto \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}:\; M\) \(= ?\)\(a; b; c; d (zeilenweise)\)\(M = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)
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Aufgabe 2
Welche Abbildung beschreibt \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}?\)Drehung um 90°
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Aufgabe 3
Eine Figur mit \(A = 3\,\text{cm}^2\) wird mit \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) abgebildet. Bildfläche?cm²\(|\det M| \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
\(\vec{e}_1 \mapsto \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix},\) \(\vec{e}_2 \mapsto \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}:\; M\) \(= ?\)\(a; b; c; d (zeilenweise)\)\(M = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\)
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Aufgabe 5
Eine Figur mit \(A = 9\,\text{cm}^2\) wird mit \(\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\) abgebildet. Bildfläche?cm²\(|\det M| \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 6
\(\vec{e}_1 \mapsto \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},\) \(\vec{e}_2 \mapsto \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}:\; M\) \(= ?\)\(a; b; c; d (zeilenweise)\)\(M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Lineare Abbildungen mit Matrizen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Rechenregeln für Matrizen: Matrizen, Determinante und Matrizenrechner. Abbildungen mit Vektoren ohne Matrix – auch Verschiebungen – findest Du bei den Abbildungen mit Vektoren. Matrizen, die Zustände von Jahr zu Jahr weiterrechnen: Übergangsmatrizen.
Weiterlesen: Lineare Abbildung, Abbildungsmatrix bei Wikipedia