Reelle Zahlen
Mit Brüchen kommt man sehr weit – aber nicht überall hin. Die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 1 ist $\sqrt{2}$ lang, und diese Zahl lässt sich durch keinen Bruch ausdrücken. Erst mit den irrationalen Zahlen ist der Zahlenstrahl lückenlos gefüllt.
Die Zahlenmengen
| Menge | Name | Beispiele | neu dazu |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | natürliche Zahlen | 0, 1, 2, 3, … | – |
| $\mathbb{Z}$ | ganze Zahlen | …, −2, −1, 0, 1, 2, … | negative Zahlen |
| $\mathbb{Q}$ | rationale Zahlen | $\frac{3}{4}$, $-2{,}5$, $0{,}\overline{3}$ | Brüche |
| $\mathbb{R}$ | reelle Zahlen | $\sqrt{2}$, $\pi$, $-\sqrt{7}$ | irrationale Zahlen |
Jede Menge enthält die vorige: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Die Zahl 5 ist also zugleich natürlich, ganz, rational und reell. Ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, wird übrigens nicht überall gleich festgelegt – in der Schule meist ja.
Rational oder irrational?
Merke
- Rationale Zahlen lassen sich als Bruch $\frac{p}{q}$ ganzer Zahlen schreiben. Als Dezimalzahl brechen sie ab ($\frac{3}{8} = 0{,}375$) oder werden periodisch ($\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}$).
- Irrationale Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Beispiele: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, jede Wurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, sowie $\pi$ und $e$.
Vorsicht: $\sqrt{49} = 7$ und $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ sind rational – es kommt auf den Wert an, nicht auf das Wurzelzeichen.
Periodische Dezimalzahlen als Bruch
Beginnt die Periode direkt nach dem Komma, schreibt man sie in den Zähler und in den Nenner so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat:
Die letzte Gleichung überrascht viele, stimmt aber: $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$, und dreimal genommen ergibt das $1 = 0{,}\overline{9}$. Steht vor der Periode noch etwas, multipliziert man zuerst mit 10: $0{,}1\overline{6} = \frac{1}{10} \cdot 1{,}\overline{6} = \frac{1}{10} \cdot \frac{15}{9} = \frac{1}{6}$.
Warum √2 kein Bruch ist
Angenommen, $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ mit einem vollständig gekürzten Bruch. Quadrieren ergibt $p^2 = 2q^2$. Dann ist $p^2$ gerade, also auch $p$ – man kann $p = 2m$ schreiben. Eingesetzt: $4m^2 = 2q^2$, also $q^2 = 2m^2$. Damit ist auch $q$ gerade. Zähler und Nenner wären beide durch 2 teilbar – der Bruch war doch nicht gekürzt. Dieser Widerspruch zeigt: Einen solchen Bruch gibt es nicht.
Intervallschachtelung
Auch ohne Taschenrechner kann man $\sqrt{5}$ beliebig genau einkreisen. Man sucht Zahlen, deren Quadrate knapp unter und knapp über 5 liegen, und macht die Grenzen Stelle für Stelle enger:
| Schritt | untere Grenze | obere Grenze | Begründung |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | $4 < 5 < 9$ |
| 2 | 2,2 | 2,3 | $4{,}84 < 5 < 5{,}29$ |
| 3 | 2,23 | 2,24 | $4{,}9729 < 5 < 5{,}0176$ |
| 4 | 2,236 | 2,237 | $4{,}999696 < 5 < 5{,}004169$ |
Jedes neue Intervall liegt im vorigen und ist zehnmal so kurz. Die Intervalle ziehen sich um genau eine Zahl zusammen: $\sqrt{5} = 2{,}2360679\ldots$
Das Heron-Verfahren
Schneller geht es mit einer Idee aus der Antike. Gesucht ist ein Quadrat mit dem Flächeninhalt a. Man beginnt mit einem Rechteck der Seite $x_0$ und der passenden zweiten Seite $\frac{a}{x_0}$. Der Mittelwert der beiden Seiten ist die Seite des nächsten, schon fast quadratischen Rechtecks:
Beispiel: √5 mit $x_0 = 2$
$x_1 = \frac{1}{2}(2 + 2{,}5) = 2{,}25$, $x_2 = \frac{1}{2}\left(2{,}25 + \frac{5}{2{,}25}\right) \approx 2{,}236111$, $x_3 \approx 2{,}236068$.
Schon nach drei Schritten stimmen sechs Nachkommastellen. Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr mit jedem Schritt.
Typische Fehler
- „π = 3,14“: 3,14 ist nur ein gerundeter Wert. π hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
- „Jede Wurzel ist irrational“: $\sqrt{16} = 4$ und $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ sind rational.
- „Periodische Zahlen sind irrational“: Sie haben zwar unendlich viele Stellen, lassen sich aber als Bruch schreiben – also rational.
- Taschenrechner-Anzeige als exakter Wert: $\sqrt{2} \approx 1{,}414213562$ ist gerundet, auch wenn das Display voll ist.
Ergebnis
Kleinste Zahlenmenge:
| Zahlenmenge | enthält die Zahl? |
|---|---|
| ℕ (natürliche Zahlen) | ✗ nein |
| ℤ (ganze Zahlen) | ✗ nein |
| ℚ (rationale Zahlen) | ✓ ja |
| ℝ (reelle Zahlen) | ✓ ja |
Rechenweg
Begründung
Periodische Dezimalzahlen sind rationale Zahlen. Als Bruch: 1/6.
Merke
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ: Jede natürliche Zahl ist auch ganz, jede ganze auch rational, jede rationale auch reell. Rationale Zahlen haben eine abbrechende oder periodische Dezimaldarstellung, irrationale eine unendliche, nicht periodische.
Im Lehrplan: Die KMK-Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss nennen die Erweiterung von $\mathbb{Q}$ zu $\mathbb{R}$ und Näherungsverfahren für Wurzeln ausdrücklich. Intervallschachtelung und Heron-Verfahren nennen zum Beispiel Hamburg und Bremen; Mecklenburg-Vorpommern, Berlin und Brandenburg verlangen das Einschachteln von Wurzeln. Dran ist das Thema meist in Klasse 8 oder 9.
Online üben
Zwei Grenzen trennst Du mit Semikolon, z. B. 7; 8. Brüche gibst Du als 4/11 ein.
Stufe 1: rational oder irrational?
-
Aufgabe 1
\(\text{Ist } \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\) rational oder irrational?rational\(:\; = \sqrt{16} = 4\)
-
Aufgabe 2
\(\text{Ist } 0{,}167\) rational oder irrational?rational\(:\) abbrechende Dezimalzahl
-
Aufgabe 3
\(\text{Ist } \sqrt{\frac{1}{4}}\) rational oder irrational?rational\(:\; = \frac{1}{2}\)
-
Aufgabe 4
\(\text{Ist } 0{,}627\) rational oder irrational?rational\(:\) abbrechende Dezimalzahl
-
Aufgabe 5
\(\text{Ist } \sqrt{49}\) rational oder irrational?rational\(:\; \sqrt{49} = 7\)
-
Aufgabe 6
\(\text{Ist } \sqrt{77}\) rational oder irrational?irrational\(:\) keine Quadratzahl
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Reelle Zahlen, Intervallschachtelung und Heron
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Wurzeln berechnen und vereinfachen: Wurzeln, Wurzelgesetze und Wurzelrechner. Bruch und Dezimalzahl umwandeln: Bruch in Dezimalzahl. Näherungsverfahren in der Oberstufe: Newton-Verfahren – das Heron-Verfahren ist ein Spezialfall davon.
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