Quotientenregel
Mit der Quotientenregel leitest Du Brüche ab, bei denen im Zähler und im Nenner eine Funktion von $x$ steht – etwa $\frac{3x + 2}{x + 4}$ oder $\frac{e^x}{x^2}$.
Die Regel
Wichtig ist die Reihenfolge im Zähler: Wegen des Minuszeichens darfst Du die beiden Produkte nicht vertauschen. Es beginnt immer mit der Ableitung des Zählers $u'$. Der Nenner wird nur quadriert, nicht abgeleitet – ausmultiplizieren musst Du ihn meist nicht.
Beispiele
Beispiel 1: $f(x) = \frac{3x + 2}{x + 4}$
$u = 3x + 2$, $u' = 3$, $v = x + 4$, $v' = 1$:
Beispiel 2: $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$
Die Ableitung ist 0 bei $x = 0$ und $x = 2$ – dort liegen die Extrempunkte von $f$.
Beispiel 3: $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$
Hier lohnt sich das Kürzen: Erst $x$ im Zähler ausklammern, dann gegen eine Potenz im Nenner kürzen.
Beispiel 4: die Ableitung von $\tan(x)$
Mit $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:
Oft geht es ohne Quotientenregel
- Nur Zahl im Zähler: $\frac{5}{x^2} = 5x^{-2}$, also $f'(x) = -10x^{-3} = -\frac{10}{x^3}$ (Potenzregel).
- Nur Zahl im Nenner: $\frac{x^2 + 3x}{4} = \frac{1}{4}(x^2 + 3x)$ – einfach Faktorregel.
- Kürzen oder aufteilen: $\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ lässt sich gliedweise ableiten.
Typische Fehler
- Zähler vertauscht: $u \cdot v' - u' \cdot v$ liefert das falsche Vorzeichen.
- Klammern vergessen: Beim Abziehen von $u \cdot v'$ gilt das Minus für den ganzen Term, z. B. $-(3x + 2)$.
- Nenner abgeleitet: Unten steht $v^2$, nicht $v'$.
Mit Rechenweg ableiten
Online üben
Gib die Ableitung als Bruch ein, z. B. 10/(x+4)^2. Jede richtige Schreibweise wird erkannt.
Stufe 2: Potenzen, e^x und ln
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Aufgabe 1
\(f(x) = \frac{x^{2} + 8}{x}\)\(f'(x) = \frac{x^{2} - 8}{x^{2}}\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = \frac{x^{2}}{x - 1}\)\(f'(x) = \frac{x^{2} - 2x}{(x - 1)^{2}}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = \frac{-2e^{x}}{x}\)\(f'(x) = \frac{-2e^{x}\,(x - 1)}{x^{2}}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{2}}\)\(f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = \frac{4e^{x}}{x}\)\(f'(x) = \frac{4e^{x}\,(x - 1)}{x^{2}}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Quotientenregel
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Weitere Regeln: Produktregel, Kettenregel und alle im Überblick bei den Ableitungsregeln.
Weiterlesen: Quotientenregel bei Wikipedia