Regressionsrechner
Gib Deine Wertepaare ein – die x-Werte in das erste Feld, die zugehörigen y-Werte in derselben Reihenfolge in das zweite. Der Rechner bestimmt die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, den Korrelationskoeffizienten $r$ und das Bestimmtheitsmaß $R^2$, zeichnet das Streudiagramm und zeigt die Arbeitstabelle. Gerechnet wird mit exakten Brüchen. Passt keine Gerade, wähle ein anderes Modell: Parabel, Exponential-, Potenz- oder Logarithmusfunktion.
Ergebnis
Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate für 2 Punkte:
Deutung (Faustregel): $|r| \geq 0{,}8$ stark, $0{,}5 \leq |r| < 0{,}8$ mittel, darunter schwach. Hier: starker positiver linearer Zusammenhang.
Bei nur zwei Punkten geht die Gerade genau durch beide Punkte – $r$ ist dann immer $1$ oder $-1$ und sagt nichts über einen Zusammenhang aus.
Ein enger Zusammenhang ($|r|$ nahe 1) beweist keine Ursache. Beide Größen können zum Beispiel von einer dritten Größe abhängen.
Rechenweg
Mittelwerte (Schwerpunkt der Punktwolke)
Addiere alle x-Werte bzw. alle y-Werte und teile durch die Anzahl $n = 2$. Der Punkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$ heißt Schwerpunkt – die Regressionsgerade geht immer durch ihn.
\[\bar{x} = \frac{8}{2} = 4\]\[\bar{y} = \frac{18}{2} = 9\]Arbeitstabelle
Für jeden Punkt die Abweichungen vom Mittelwert, ihre Quadrate und ihr Produkt. Die Spalten mit den Abweichungen ergeben zusammen immer 0.
$i$ $x_i$ $y_i$ $x_i - \bar{x}$ $y_i - \bar{y}$ $(x_i - \bar{x})^2$ $(y_i - \bar{y})^2$ $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ 1 2 5 -2 -4 4 16 8 2 6 13 2 4 4 16 8 $\sum$ 8 18 0 0 8 32 16 Varianzen und Kovarianz
Teile die Spaltensummen durch $n$. Die Kovarianz $s_{xy}$ ist positiv, wenn große x-Werte meist mit großen y-Werten auftreten, und negativ, wenn es umgekehrt ist.
\[s_x^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2 = 4\]\[s_y^2 = \frac{1}{n}\sum (y_i - \bar{y})^2 = 16\]\[s_{xy} = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 8\]Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Gerade, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände (Residuen) am kleinsten ist, hat die Steigung $m = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ und geht durch den Schwerpunkt: $b = \bar{y} - m \cdot \bar{x}$.
\[m = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = 2\]\[b = \bar{y} - m \cdot \bar{x} = 1\]\[y = 2x + 1\]Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß
Der Korrelationskoeffizient nach Pearson liegt immer zwischen −1 und 1. Je näher $|r|$ an 1 liegt, desto enger liegen die Punkte an einer Geraden. $R^2 = r^2$ gibt an, welcher Anteil der Streuung der y-Werte durch die Gerade erklärt wird.
\[r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = 1\]\[R^2 = r^2 = 1\]
Streudiagramm
Punkte (blau), Regressionsgerade (rot), Schwerpunkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$ (Kreuz), gestrichelt die Residuen.
So funktioniert die Berechnung
- Regressionsgerade $\hat{y} = m \cdot x + b$: die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten senkrechten Abstände (Residuen). Sie geht durch den Schwerpunkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$.
- Korrelationskoeffizient $r$ (nach Pearson): zwischen $-1$ und $1$; je näher $|r|$ an 1, desto enger liegen die Punkte an der Geraden.
- Bestimmtheitsmaß $R^2$: Anteil der Streuung der y-Werte, den die Gerade erklärt.
Ausführlich erklärt, mit Beispielen zu Kovarianz, Prognosen und der Frage „Korrelation oder Ursache?“, wird das auf der Seite Regression und Korrelation – dort kannst Du auch online üben. Mittelwert und Standardabweichung einer einzelnen Datenreihe liefert der Statistik-Rechner.
Nichtlineare Modelle
| Modell | so rechnet der Rechner | passt oft bei … |
|---|---|---|
| quadratisch $y = ax^2 + bx + c$ | kleinste Quadrate direkt: drei Normalgleichungen mit $\sum x^k$ und $\sum x^k y$, exakt gelöst | Wurfbahnen, Bremswegen, Kosten mit Minimum |
| exponentiell $y = a \cdot b^x$ | Gerade durch $(x \mid \ln y)$, dann $a = e^{\text{Achsenabschnitt}}$, $b = e^{\text{Steigung}}$ | Wachstum und Zerfall mit festem Faktor |
| Potenz $y = a \cdot x^b$ | Gerade durch $(\ln x \mid \ln y)$ | Flächen, Volumen, Fallzeiten |
| logarithmisch $y = a + b \cdot \ln x$ | Gerade durch $(\ln x \mid y)$ | Lernkurven, Sättigung |
Das Bestimmtheitsmaß $R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$ wird immer mit den ursprünglichen y-Werten berechnet, damit sich die Modelle vergleichen lassen: Je näher $R^2$ an 1 liegt, desto besser passt die Kurve. Beim Exponential- und Potenzmodell ist die gefundene Kurve die beste Gerade im logarithmierten Bild – nicht ganz dieselbe wie die mit den kleinsten Abweichungen im Originalbild. Wie Exponentialfunktionen funktionieren, steht unter Exponentialfunktionen.
Online üben
Bei mehreren gesuchten Werten trennst Du sie mit Semikolon, z. B. 3; 2 für $a = 3$ und $b = 2$. Gerundete Ergebnisse auf zwei bis drei Nachkommastellen genügen.
Stufe 1: Modelle anwenden und vergleichen
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Aufgabe 1
\(\text{SQR} = 103,\ \text{SQT} = 536:\quad R^2 = ?\)\(R^2 = 1 - \frac{103}{536} \approx 0{,}8078\)
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Aufgabe 2
\(\text{SQR} = 75,\ \text{SQT} = 366:\quad R^2 = ?\)\(R^2 = 1 - \frac{75}{366} \approx 0{,}7951\)
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Aufgabe 3
\(y = 9{,}5 \cdot e^{0{,}05x}:\quad y\text{ für } x = 3?\)\(y \approx 11{,}04\)
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Aufgabe 4
\(\text{linear: } R^2 = 0{,}884,\) quadratisch: \(R^2 = 0{,}664:\) besseres Modell?\(\text{linear}\ (\)größeres \(R^2)\)
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Aufgabe 5
\(y = 14{,}5 \cdot e^{0{,}15x}:\) \(y\text{ für } x = 1{,}5?\)\(y \approx 18{,}16\)
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Aufgabe 6
\(y = 13 \cdot e^{-0{,}3x}:\quad y\text{ für } x = 7?\)\(y \approx 1{,}59\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Regression: quadratisch, exponentiell, logarithmisch
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Weiterlesen: Methode der kleinsten Quadrate bei Wikipedia