Laplace-Rechner
Wähle, was Du berechnen möchtest: die Laplace-Transformierte $F(s)$ einer Funktion $f(t)$, die Originalfunktion zu einer Bildfunktion $F(s)$ oder die Lösung eines Anfangswertproblems $a\,y'' + b\,y' + c\,y = r(t)$. Jeder Weg wird Schritt für Schritt gezeigt und zum Schluss geprüft.
Ergebnis
Originalfunktion zu $F(s) = \frac{1}{s^{2}\,\left(s + 2\right)}$:
Rechenweg
Nenner zerlegen
Die Nullstellen des Nenners (die Pole) bestimmen, welche Bausteine in $f(t)$ vorkommen: reelle Pole $s = a$ geben $e^{at}$, Paare $s = \alpha \pm \omega i$ geben $e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ und $e^{\alpha t}\sin(\omega t)$, mehrfache Pole zusätzlich Faktoren $t, t^2, \ldots$
\[G(s) = \frac{1}{s^{2}\,\left(s + 2\right)}\]Partialbruchzerlegung
Zerlege in einfache Brüche (Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten, Koeffizientenvergleich bzw. Einsetzen der Pole):
\[G(s) = \frac{1}{4\,\left(s + 2\right)} - \frac{1}{4\,s} + \frac{1}{2\,s^{2}}\]Jeden Bruch zurücktransformieren
Mit der Korrespondenztabelle (quadratische Nenner vorher quadratisch ergänzen: $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$, dann Dämpfungssatz):
\[\text{"1/(4·(s+2))}\;\longmapsto\; \frac{\mathrm{e}^{-2\,t}}{4}\]\[-\frac{1}{4\,s}\;\longmapsto\; -\frac{1}{4}\]\[\frac{1}{2\,s^{2}}\;\longmapsto\; \text{t/2"}\]Ergebnis
Die Summe der Bausteine ist die Originalfunktion:
\[f(t) = \frac{t}{2} + \frac{\mathrm{e}^{-2\,t}}{4} - \frac{1}{4}\]Probe
Numerisch: $\int_0^\infty e^{-1,5t}\,g(t)\,\mathrm{d}t \approx 0{,}126984$ und $G(1{,}5) \approx 0{,}126984$ – passt.
So rechnet der Rechner
| Modus | Vorgehen |
|---|---|
| f(t) → F(s) | Summe in Summanden zerlegen (Linearität), jeden Summanden mit Tabelle bzw. Dämpfungssatz transformieren, Ergebnis numerisch mit $\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$ prüfen. |
| F(s) → f(t) | Nenner zerlegen, Partialbrüche, jeden Bruch zurück; ein Faktor $e^{-as}$ vorne wird mit dem Verschiebungssatz zu $u(t - a)\,g(t - a)$. |
| Anfangswertproblem | Ableitungssatz einsetzen, nach $Y(s)$ auflösen, Partialbrüche, zurücktransformieren, Probe durch Einsetzen in die Gleichung. |
Tipp
Die Pole von $F(s)$ – die Nullstellen des Nenners – verraten schon vorher, wie $f(t)$ aussieht: Pole links von 0 ($s < 0$) gehören zu abklingenden Anteilen, Pole rechts davon zu wachsenden, rein imaginäre Paare $\pm\omega i$ zu ungedämpften Schwingungen.
Die Erklärung mit Korrespondenztabelle, Rechenregeln und Übungen findest Du unter Laplace-Transformation. Für Partialbrüche allein gibt es die Seite Partialbruchzerlegung, für Differentialgleichungen ohne Laplace den DGL-Rechner.
Weiterlesen: Laplace-Transformation bei Wikipedia